Dirichletov princip

U matematici, Dirichletov princip u teoriji potencijala kaže da ako je funkcija u(x) rješenje Poissonove jednačine

$\mathrm{\Delta }u+f=0$

na domenu $\mathrm{\Omega }$ od ${ℝ}^n$ sa graničnom vrijednosti

$u=g\text{ na }\partial \mathrm{\Omega },$

tada se u može dobiti kao umanjilac Dirichletove energije

$E[v(x)]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }v{|}^2-vf)\mathrm{d}x$

među svim dvostruko diferencijabilnim funkcijama $v$, takvim da je $v=g$ na $\partial \mathrm{\Omega }$ (uz uslov da postoji bar jedna funkcija za koju je Dirichletov integral konačan). Ovaj koncept dobio je naziv po njemačkom matematičaru Lejeuneu Dirichletu.

Pošto je Dirichletov integral ograničen odozdo, postojanje infimuma je garantovan. Dostizanje ovog infimuma Bernhard Riemann (on je uveo termin Dirichletov princip) i ostali uzeli su zdravo za gotovo, sve dok Weierstrass nije dao primjer funkcionala koji ne dostiže svoj minimum. David Hilbert je kasnije opravdao Riemannovu upotrebu Dirichletovog principa.

Također pogledajte

• Plateauov problem
• Greenov prvi identitet

Reference

• Šablon:Cite book
• Šablon:MathWorld