Binomni red

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Infinitezimalni račun U matematici, binomni red je čista generalizacija algebarske formule binomnog teorema za kompleksne vrijednosti od α. To je specijalni slučaj Newtonovog reda. Binomni red je red

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k$

gdje je α kompleksan broj i gdje je

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$

(generalizovani) binomni koeficijent (ako je α nenegativan cijeli broj, tada (α + 1)-ti član i svi slijedeći članovi su nula, pošto svaki sadrži faktor oblika (α − α): zbog toga, u tom slučaju, sumiranje se svodi na algebarsku binomnu formulu).

Slijedeće vrijedi za svaki kompleksan broj α:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0})=1,$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\frac{\alpha -k}{k+1},(1)$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +1}{k}).(2)$

Kada α nije prirodan broj, korisna asimptotska veza za binomni koeficijent je, prema tzv. veliko O notaciji:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{(-1{)}^k}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha )k^{1+\alpha }}(1+o(1))=O\left(\frac{1}{k^{1+Re(\alpha )}}\right),(3)$

kada $k\to \mathrm{\infty }$, što je, u suštini, jednako Eulerovoj definiciji gama funkcije, koja je data preko formule

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k!k^z}{z(z+1)\cdots (z+k)}.$

Prve rezultate o konvergenciji binomnog reda dao je Sir Isaac Newton, te se zbog toga pinekad naziva i Newtonov binomni teorem. Kasnije, Niels Henrik Abel se, također, bavio ovom problematikom.

Također pogledajte

• Binomni teorem
• Tabela Newtonski redova