Eksponent

GraFikoni Šablon:Math za razne baze b: Šablon:Nobr Šablon:Nobr Šablon:Nobr Šablon:Nobr Svaka kriva prolazi kroz tačku Šablon:Math jer je bilo koji broj različit od nule podignut na stepen 0 1. U Šablon:Math, vrijednost y je jednako bazi jer je svaki broj podignut na stepen od 1 sam broj.

Šablon:Calculation results

Eksponencijacija je matematička operacija, napisana kao Šablon:Math, koji uključuje dva broja, baza Šablon:Mvar i eksponent ili power Šablon:Mvar, i izgovara se kao "Šablon:Mvar (podignuto) na (potenciju) Šablon:Mvar". Kada je Šablon:Mvar pozitivan integer, eksponencijacija odgovara ponovljenom umnošku baze: to jest, Šablon:Math je proizvod množenja Šablon:Mvar baza: $$b^n=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{b\times b\times \dots \times b\times b}}.$$

Eksponent se obično prikazuje kao superskripta desno od baze. U tom slučaju, Šablon:Math zove se "b podignut na n-tu potenciju, 'b (podignut) na stepen n', "n-ti stepen b", "b na n-tu potenciju", ili najkraće kao "b do n-og.

Polazeći od osnovne činjenice gore navedene da je za svaki pozitivan cijeli broj $n$, $b^n$ $n$ pojavljivanja $b$ sve pomnoženo jedno s drugim, direktno slijedi nekoliko drugih svojstava eksponencijalnosti. Posebno:

$$\begin{array}{cc}{b}^{n+m}& =\underset{n+m\text{ times}}{\underbrace{b\times \dots \times b}}\\ & =\underset{n\text{ times}}{\underbrace{b\times \dots \times b}}\times \underset{m\text{ times}}{\underbrace{b\times \dots \times b}}\\ & =b^n\times b^m\end{array}$$

Drugim riječima, kada se množi baza podignuta na jedan eksponent sa istom bazom podignutom na drugi eksponent, eksponenti se sabiraju. Iz ovog osnovnog pravila koje dodaju eksponenti možemo izvesti da $b^0$ mora biti jednako 1, kako slijedi. Za bilo koji $n$, $b^0\cdot b^n=b^{0+n}=b^n$. Podjela obje strane sa $b^n$ daje $b^0=b^n/b^n=1$.

Činjenica da se $b^1=b$ može na sličan način izvesti iz istog pravila. Na primjer, $(b^1{)}^3=b^1\cdot b^1\cdot b^1=b^{1+1+1}=b^3$. Uzimanje kubnog korijena obje strane daje $b^1=b$.

Pravilo da množenje čini da se eksponenti sabiraju može se koristiti i za izvođenje svojstava negativnih cjelobrojnih eksponenata. Razmotrite pitanje šta bi trebalo značiti $b^{-1}$. Da bi se poštivalo pravilo "eksponenti dodatak", mora biti slučaj da $b^{-1}\cdot b^1=b^{-1+1}=b^0=1$. Dijeljenje obje strane sa $b^1$ daje $b^{-1}=1/b^1$, što se jednostavnije može napisati kao $b^{-1}=1/b$, koristeći rezultat odozgo da je $b^1=b$. Po sličnom argumentu, $b^{-n}=1/b^n$.

Svojstva razlomanih eksponenata također proizlaze iz istog pravila. Naprimjer, pretpostavimo da razmatramo $\sqrt{b}$ i pitamo postoji li neki odgovarajući eksponent, koji možemo nazvati $r$, tako da je $b^r=sqrtb$. Iz definicije kvadratnog korijena, imamo da je $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=b$. Prema tome, eksponent $r$ mora biti takav da $b^r\cdot b^r=b$. Korišćenje činjenice da množenje čini eksponente sabiranjem daje $b^{r+r}=b$. $b$ na desnoj strani se također može napisati kao $b^1$, dajući $b^{r+r}=b^1$ . Izjednačavajući eksponente na obje strane, imamo $r+r=1$. Prema tome, $r=\frac{1}{2}$, tako da $\sqrt{b}=b^{1/2}$.

Definicija eksponencijalnosti može se proširiti tako da omogući bilo koji realan ili kompleksni eksponent. Eksponencijaliranje cjelobrojnim eksponentima se također može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući matrice.

Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim poljima, uključujući ekonomiju, biologiju, hemiju, fiziku i računarske nauke, sa aplikacijama kao što su složeni interes, rast populacije, kinetika hemijske reakcije, ponašanje talasa i kriptografija s javnim ključem.

Terminologija

Izraz Šablon:Math naziva se "kvadrat od b ili b na kvadrat, jer je površina kvadrata sa dužinom stranice Šablon:Math Šablon:Math.

Slično tome, izraz Šablon:Math naziva se "kub od b ili b kocka, jer je zapremina kocke sa bočnom dužinom Šablon:Math Šablon:Math.

Kada je pozitivan cijeli broj, eksponent pokazuje koliko je kopija baze pomnoženo zajedno. Naprimjer, Šablon:Math. Baza Šablon:Math se pojavljuje Šablon:Math puta u množenju, jer je eksponent Šablon:Math. Ovde, Šablon:Math je 5. stepen od 3, ili 3 podignuto na 5. stepen.

Riječ "podignut" se obično izostavlja, a ponekad i "potencija", tako da se Šablon:Math može jednostavno pročitati "3 na 5.", ili "3⁵." Stoga se eksponencijacija Šablon:Math može izraziti kao "b na stepen n", "' 'b' na n-tu potenciju, ''b na n-tu, ili najkraće kao b na n.

Formula sa ugniježđenom eksponencijacijom, kao što je Šablon:Math (što znači Šablon:Math a ne Šablon:Math), naziva se potencija moći, ili jednostavno potdencija. Naprimjer, pisanje $b^{c^d}$ je ekvivalentno pisanju $b^{\left(c^d\right)}$. Ovo se može generalizirati na to gdje pisanje $b^{c^{d^f}}$ znači $b^{\left(c^{\left(d^f\right)}\right)}$. Naprimjer, $\sqrt{100}$ se može izračunati kao $100^{\frac{1}{2}}$, što se može izračunati kao $100^{2^{-1}}$, što je jednako $100^{\left(2^{-1}\right)}$, što je jednako 10..

Cjelobrojni eksponenti

Operacija eksponencijaliranja sa celobrojnim eksponentima može se definisati direktno iz elementarnih aritmetičkih operacija.

Pozitivni eksponenti

Definicija eksponencijacije kao ponavljanog množenja može se formalizirati korištenjem indukcije, a ova definicija se može koristiti čim se dobije asocijativnost množenja:

Osnovni slučaj je

$b^1=b$

a ponavljanje je

$b^{n+1}=b^n\cdot b.$

Asocijativnost množenja implicira da za bilo koje pozitivne cijele brojeve Šablon:Mvar i Šablon:Mvar,

$b^{m+n}=b^m\cdot b^n,$

i

$(b^m{)}^n=b^{mn}.$

Nulti eksponent

Po definiciji, svaki broj različit od nule podignut na stepen Šablon:Math je Šablon:Math:

$b^0=1.$

Ova definicija je jedina moguća koja dozvoljava proširenje formule:

$b^{m+n}=b^m\cdot b^n$

na nulte eksponente. Može se koristiti u svakoj algebarskoj strukturi sa množenjem koje ima identitet.

Intuitivno, $b^0$ se može protumačiti kao prazan proizvod kopija Šablon:Mvar. Dakle, jednakost $b^0=1$ je poseban slučaj opće konvencije za prazan proizvod.

Slučaj Šablon:Math je komplikovaniji. U kontekstima u kojima se razmatraju samo cjelobrojne potencije, vrijednosti Šablon:Math se općenito dodjeljuje $0^0,$, ali u suprotnom, izbor da li će joj se dodijeliti vrijednost i koju vrijednost dodjela može ovisiti o kontekstu. Šablon:Crossref

Negativni eksponenti

Eksponencijacija sa negativnim eksponentima je definirana sljedećim identitetom, koji vrijedi za bilo koji cijeli broj Šablon:Mvar i različit od nule Šablon:Mvar:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$.

Povećanje 0 na negativan eksponent je nedefinisano, ali se u nekim okolnostima može tumačiti kao beskonačnost ($\mathrm{\infty }$).

Ova definicija eksponencijalnosti sa negativnim eksponentima je jedina koja dozvoljava proširenje identiteta $b^{m+n}=b^m\cdot b^n$ na negativne eksponente (razmotrite slučaj $m=-n$).

Ista definicija se odnosi na inverzibilni element u multiplikativnom monoidu, odnosno algebarskoj strukturi, sa asocijativnim množenjem i mulriplikativnim identitetom označenim kao Šablon:Math (naprimjer, date dimenzije kvadratne matrice). Konkretno, u takvoj strukturi, inverz od inverzibilnog elementa Šablon:Mvar standardno se označava $x^{-1}.$

Identiteti i svojstva

Slijedeći identiteti, koji se često nazivaju Šablon:Vanchor, važe za sve cjelobrojne eksponente, pod uslovom da je baza različita od nule:

$\begin{array}{cc}{b}^{m+n}& =b^m\cdot b^n\\ {\left(b^m\right)}^n& =b^{m\cdot n}\\ (b\cdot c{)}^n& =b^n\cdot c^n\end{array}$

Za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije komutativna. Naprimjer, Šablon:Math. Također, za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije asocijativna. Naprimjer, Šablon:Math, dok je Šablon:Math. Bez zagrada, konvencionijski redoslijed operacija za serijsku eksponencijaciju u superskriptnoj notaciji je odozgo prema dolje (ili desno asocijativno), a ne odozdo prema gore (ili lijevo-asocijativno).

To je,

$b^{p^q}=b^{\left(p^q\right)},$

što je, općenito, drfukčije od:

${\left(b^p\right)}^q=b^{pq}.$

Potencije zbira

Potencije sume se normalno mogu izračunati iz potencija sabiraka pomoću binomne formule

$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^i{b}^{n-i}=\sum _{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}{a}^i{b}^{n-i}.$

Međutim, ova formula je istinita samo ako se sabirci mijenjaju (tj. da Šablon:Math), što se podrazumijeva ako pripadaju strukturi to je komutativno. U suprotnom, ako su Šablon:Mvar i Šablon:Mvar, recimo, kvadratne matrice od same veličine, ova formula se ne može koristiti. Iz toga slijedi da se u kompjuterskoj algebri mnogi algoritami koji uključuju cjelobrojne eksponente moraju promijeniti kada se baze eksponencijacije ne mijenjaju. Neki sistemi kompjuterske algebre opće namjene koriste drugačiju notaciju (ponekad Šablon:Math umjesto Šablon:Math) za eksponencijaciju sa nekomutirajućim bazama, što se tada naziva ' nekomutativno eksponencijaliranje.

Kombinatorna interpretacija

Za nenegativne cijele brojeve Šablon:Mvar i Šablon:Mvar, vrijednost Šablon:Math je broj [ [funkcija (matematika)|funkcije]] iz skup od Šablon:Mvar elemenata u skupu Šablon:Mvar elemenata (pogledajte kardinalno eksponencijaliranje). Takve funkcije mogu biti predstavljene kao Šablon:Mvar-torke]] iz Šablon:Mvar-skupa elemenata (ili kao Šablon:Mvar-slovne riječi iz Šablon:Mvar-a-slovna abeceda). Neki primjeri za određene vrijednosti Šablon:Mvar i Šablon:Mvar dati su u sljedećoj tabeli:

Šablon:Math	Šablon:Math moguće Šablon:Mvar-torke elemenata iz skupa Šablon:Math
0Šablon:Sup = 0	Šablon:CNone
1Šablon:Sup = 1	(1, 1, 1, 1)
2Šablon:Sup = 8	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
3Šablon:Sup = 9	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
4Šablon:Sup = 4	(1), (2), (3), (4)
5Šablon:Sup = 1	()

Posebne baze

Šablon:AnchorPotencije desetica

Šablon:Također pogledajte Šablon:Glavni U sistemu brojeva sa bazom deset (decimalni), cjelobrojne potencije Šablon:Math se zapisuju kao cifra Šablon:Math iza koje slijedi ili prethodi broj nula određenih predznakom i veličinom eksponenta. Naprimjer, Šablon:Math.

Eksponencijacija sa bazom Šablon:Math se koristi u naučnoj notaciji za označavanje velikih ili malih brojeva. Naprimjer, Šablon:Val (brzina svjetlosti u vakuumu, u metrima u sekundi) se može napisati kao Šablon:Val, a zatim približno kao Šablon:Val. SI prefiksi zasnovane na moćima Šablon:Math se također koriste za opisivanje malih ili velikih količina. Na primjer, prefiks kilo znači Šablon:Math, tako da je kilometar Šablon:Val.

Šablon:AnchorPotencije dvojke

Šablon:Glavni Prve negativne potencije Šablon:Math se obično koriste i imaju posebne nazive, npr.: pola i četvrtina .

Moći Šablon:Math se pojavljuju u teoriji skupova, pošto skup sa Šablon:Math članovima ima power set, skup svih njegovih podskups, koji ima Šablon:Math članova.

Cjelobrojne moći Šablon:Math su važne u računarstvu. Pozitivni cijeli brojevi Šablon:Math daju broj mogućih vrijednosti za Šablon:Math-bit cijeli broj binarni broj; na primjer, byte može uzeti Šablon:Math različite vrijednosti. binarni brojevni sistem izražava bilo koji broj kao zbir stepena Šablon:Math, i označava ga kao niz Šablon:Math i Šablon:Math, razdvojenih sa a binarna tačka, gde Šablon:Math označava stepen Šablon:Math koji se pojavljuje u zbiru; eksponent je određen mjestom ove Šablon:Math: nenegativni eksponenti su rang Šablon:Math na lijevoj strani tačke (počevši od Šablon:Math), a negativni eksponenti su određeni rangom s desne strane tačke.

Potenciranje jedan

Potencije 1 su jednake 1: Šablon:Math. To je zato što $$1^n=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{1\times 1\times \dots \times 1\times 1}}$$ i $1\times 1=1$

Prvi stepen broja je sam broj: $n^1=n.$ Eksponent može biti vrlo velik, a izlaz je i dalje 1, naprimjer $1^{9^{9^{9^9}}}=1$. Ovo izračunavanje uzrokuje grešku prelivanja u računarima jer je broj $9^{9^{9^9}}$ izuzetno velik, a rezultat podizanja 1 na taj stepen je samo 1.

Potenciranje nule

Ako je eksponent Šablon:Mvar pozitivan (Šablon:Math), Šablon:Mvar-ta potencija nule je nula: Šablon:Math.

Ako je eksponent Šablon:Mvar negativan (Šablon:Math), Šablon:Mvar-ti stepen nule Šablon:Math je nedefiniran, jer mora biti jednak $1/0^{-n}$ sa Šablon:Math, a to bi bilo $1/0$ prema gore navedenom.

Izraz [[Nula na stepen nule|Šablon:Math]] je ili definiran kao 1, ili je ostavljen nedefiniran.

Potencije negativne jedinice

Ako je Šablon:Math paran cijeli broj, tada je Šablon:Math. To je zato što se negativan broj pomnožen sa drugim negativnim brojem poništava i daje pozitivan broj.

Ako je Šablon:Math neparan cijeli broj, tada je Šablon:Math. To je zato što će postojati preostali Šablon:Math nakon uklanjanja svih parova Šablon:Math.

Zbog toga su potencije Šablon:Math korisne za izražavanje naizmjeničnih sekvencija.

Potencije 3

Ternarna logika koristi bazu 3 kao alternativu bazi −2 za binarnu logiku, koju koriste svi savremeni računari. Postoje mnoge prednosti dizajniranja računara sa bazom 3 uključujući veću sigurnost.

Veliki eksponenti

Ograničenje niza stepena broja većeg od jedan se razilazi; drugim riječima, niz raste neograničeno:

Šablon:Math kao Šablon:Math kada je Šablon:Math

Ovo se može pročitati kao "b na stepen n teži ka +∞ kao n teži beskonačnosti kada je b veće od 1". Potencije broja sa apsolutna vrijednost manjim od jedan teže nuli:

Šablon:Math kao Šablon:Math kada je Šablon:Math

Svaka potencija 1 je uvijek 1:

Šablon:Math za sve Šablon:Math ako je Šablon:Math

Potencije Šablon:Math se naizmjenično smjenjuju između Šablon:Math i Šablon:Math kao što se Šablon:Math mijenja između parnih i neparnih, i stoga ne teže bilo kojoj granici kako Šablon:Math raste.

Ako se Šablon:Math, Šablon:Math mijenja između većih i većih pozitivnih i negativnih brojeva jer se Šablon:Math izmjenjuje između parnih i neparnih, i stoga ne teži bilo kakvom ograničenju kako Šablon:Math raste.

Ako eksponencirani broj varira dok teži ka Šablon:Math dok eksponent teži beskonačnosti, onda granica nije nužno jedna od onih iznad. Posebno važan slučaj je

Šablon:Math kao Šablon:Math

Funkcije potencija

Potencija funkcije za $n=1,3,5$

Potencika funkcije za $n=2,4,6$

Realne funkcije oblika $f(x)=c{x}^n$, gdje je $c\ne 0$, ponekad se nazivaju funkcije potencije.<r ef>Šablon:Cite book</ref> Kada je $n$ integer i $n\ge 1$, postoje dvije primarne porodice: za $n$ čak i za $n$ neparan. Općenito za $c>0$, kada je $n$ paran $f(x)=c{x}^n$ težit će ka pozitivnoj beskonačnosti sa povećanjem $x$, kao i prema pozitivnoj beskonačnosti sa smanjenjem $x$. Svi grafikoni iz porodice parnih funkcija stepena imaju opći oblik $y=c{x}^2$, spljoštavajući se više u sredini kako se $n$ povećava. Funkcije sa ovom vrstom simetrija Šablon:Nobr nazivaju se parne funkcije.

Kada je $n$ neparan, asimptotično ponašanje $f(x)$ se obrće s pozitivnog $x$ na negativno $x$ matematika>. Za $c>0$, $f(x)=c{x}^n$ će također težiti pozitivnom beskonačnost sa povećanjem $x$ math>, ali prema negativnoj beskonačnosti sa smanjenjem $x$. Svi grafikoni iz porodice funkcija neparnog stepena imaju opći oblik $y=c{x}^3$, spljoštavajući se više u sredini kako se $n$ povećava i gube svu ravnost u ravnini linija za $n=1$. Funkcije sa ovom vrstom simetrije Šablon:Nobr se nazivaju neparne funkcije.

Za $c<0$, suprotno asimptotsko ponašanje je istinito u svakom slučaju.

Potencije decimalnih brojeva

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val
4	16	64	256	1024	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val
5	25	125	625	3125	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val
6	36	216	1296	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val
7	49	343	2401	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val
8	64	512	4096	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val
9	81	729	6561	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val
10	100	1000	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val	Šablon:Val

Također pogledajte

• Dvostruka eksponencijalna funkcija
• Eksponencijalno raspadanje
• Eksponencijalno polje
• Eksponencijalni rast
• Lista eksponencijalnih tema
• Modularna eksponencijacija
• Naučna notacija
• Unikodni subskripti i superskripti
• x^y = y^x
• Nula na stepen nule