Izvorni kôd stranice Test općeg člana

{{Infinitezimalni račun|series}}
U [[matematika|matematici]], '''test divergencije ''n''-tog člana'''<ref name="Kaczor">Kaczor p.336</ref> je jednostavan test [[divergentni red|divergencije]] [[beskonačni red|beskonačnih redova]]:

* Ako <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> ili ako limes ne postoji, tada red <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> divergira.

Mnogi autori ne imenuju ovaj test ili mu samo daju kraći naziv.<ref name="Rudin">Na primjer, Rudin (str. 60) iskazuje samo kontrapozitivnu formu i ne imenuje ga. Brabenec (str. 156) naziva ga samo '''test ''n-tog'' člana'''. Stewart (str. 709) naziva ga '''test divergencije'''.</ref>

== Upotreba ==

Za razliku od jačih [[testovi konvergencije|testova konvergencije]], test općeg člana ne može sam dokazati da red [[konvergentni red|konvergira]]. To znači da suprotno od razultata testa nije nužno tačno; umjesto toga može se reći:
* Ako je <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> tada red <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> može, ali i ne mora konvergirati. Drugim riječima, ako je <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math>, test je neodlučan.

[[Harmonijski red (matematika)|Harmonijski red]] je klasičan primjer divergentnog reda čiji članovi teže u nula.<ref>Rudin p.60</ref> Općenitija klasa harmonijskih redova, tzv. hiperharmonijski red
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},</math>

pojašnjava razultate testa:

* Ako je ''p'' ≤ 0, tada red divergira.
* Ako je 0 < ''p'' ≤ 1, tada je test neodlučan, ali je red divergentan po [[Cauchyjev integralni test konvergencije|integralnom testu konvergencije]].
* ako je 1 < ''p'', tada je test neodlučan, ali je red konvergentan, ponovo po integralnom testu konvergencije.

== Dokazi ==

Dokaz se dokazuje test [[kontrapozicija|kontrapozitivnom]] formom:

* Ako red <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergira, tada je <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0.</math>

=== Manipulacija limesima ===

Ako su ''s''<sub>''n''</sub> parcijalne sume reda, tada pretpostavka da red konvergira znači da je
:<math>\lim_{n\to\infty} s_n = s</math>
za neki broj ''s''. Tada vrijedi<ref>Brabenec p.156; Stewart p.709</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0.</math>

=== Cauchyjev kriterij ===

Pretpostavka da red konvergira znači da je prošao [[Cauchyjev test konvergencije]]: Za svaki <math>\varepsilon>0</math> postoji broj ''N'' takav da

:<math>|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon</math>
vrijedi za sve ''n'' > ''N'' i ''p'' ≥ 1. Slučaj ''p'' = 1 potvrđuje definiciju iskaza<ref>Rudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = 0.</math>

== Domet ==

Najjednostavnija verzija test općeg člana primjenjuj se na beskonačne redove [[realni broj|realnih brojeva]].

== Reference ==
{{refspisak}}
*{{cite book |last=Brabenec |first=Robert |title=Resources for the study of real analysis |year=2005 |publisher=MAA |id={{ISBN|0-88385-737-5}}}}
*{{cite book |last=Hansen |first=Vagn Lundsgaard |title=Functional Analysis: Entering Hilbert Space |url=https://archive.org/details/functionalanalys0000hans |year=2006 |publisher=World Scientific |id={{ISBN|981-256-563-9}}}}
*{{cite book |author=Kaczor, Wiesława and Maria Nowak |title=Problems in Mathematical Analysis |year=2003 |publisher=American Mathematical Society |id={{ISBN|0-8218-2050-8}}}}
*{{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of mathematical analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3e |year=1976 |origyear=1953 |publisher=McGraw-Hill |id={{ISBN|0-07-054235-X}}}}
*{{cite book |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early transcendentals |url=https://archive.org/details/singlevariableca0000stew |edition=4e |year=1999 |publisher=Brooks/Cole |id={{ISBN|0-534-36298-2}}}}
*{{cite book |last=Șuhubi |first=Erdoğan S. |title=Functional Analysis |year=2003 |publisher=Springer |id={{ISBN|1-4020-1616-6}}}}

[[Kategorija:Infinitezimalni račun]]
[[Kategorija:Testovi konvergencije]]
[[Kategorija:Članci koji sadrže dokaz]]