Izvorni kôd stranice Rješavanje trougla

Rješavanje [[Trougao|trougla]] znači nalaženje preostalih [[Ugao|uglova]] i stranica kada je dat minimum podataka. 
Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180<sup>o</sup>. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. 
Ovo je glavni [[Trigonometrija|trigonometrijski]] problem. 
Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.
==Glavni teoremi==

[[Kosinusni teorem|Kosinusna teorema]]

<math>a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha</math>

<math>b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta</math>

<math>c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma</math>

[[Sinusna teorema]]

<math>{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}</math>

Zbir uglova trougla
    
<math>\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }</math>

[[Tangensni teorem]]

<math>\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}
</math>
==Oštrougli trougao==

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90<sup>o</sup> ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:<ref>{{cite web | url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-triangles.html | title=Solving Triangles | publisher=Maths is Fun | access-date=4. 4. 2012<!-- 6:37 (UTC)-->}}</ref><ref>{{cite web | url=http://web.horacemann.org/academics/math/pcbch/trig/triangle.html | title=Solving Triangles | publisher=web.horacemann.org | access-date=4. 4. 2012<!-- 6:42 (UTC)--> | archive-url=https://web.archive.org/web/20140107224746/http://web.horacemann.org/academics/math/pcbch/trig/triangle.html | archive-date=7. 1. 2014 | url-status=dead }}</ref>
   
#date su tri strane (SSS);
# date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
#data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
#date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).
  
To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

===Date su 3 stranice trougla===
Date su tri stranice '''a , b , c'''  trougla. Naći njegove uglove.<ref>[http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sss-triangles.html Solving SSS Triangles]/Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.</ref>

[[File:resolve triangle with a b gamma.png|thumb|right|250px]]

'''I način'''

Kosinusna teorema <math>a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A</math> daje ugao A, jer je <math>\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.</math>

Sinusna teorema  <math>a:\sin \alpha =b:\sin \beta</math> daje  ugao <math>\beta</math> , jer je <math>\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}.</math>

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva  <math>\gamma = 180^{\circ} - ( \alpha + \beta )</math> .

'''II način'''

Iz poluobima   <math>p=\frac{a+b+c}{2},  razlika <math>p-a,\; p-b,\; p-c,</math> i tangensne teoreme  imaćemo

<math>\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\; \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\; \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.</math>

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. <math>a + b > c , b + c > a , c + a > b</math>.
===Date su 2 stranice i ugaoizmeđu njih===
Date su 2 stranice  trougla <math>a , b ( a > b )</math> i ugao  <math>\gamma</math>.  Naći stranicu с i uglove <math>\alpha</math>, <math>\beta </math>.<ref>[http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sas-triangles.html Solving SAS Triangles] / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.</ref>

[[File:resolve triangle with b c beta.png|thumb|right|250px]]

Kosinusna teorema daje stranicu  <math>c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma}}</math>

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova <math>a>b</math> slijedi da je ugao <math>\beta</math>  oštar, pa prema tome prvo tražimo  
 
<math> \sin \beta ={\frac {b\sin\gamma}{c}}</math> tj ugao <math>\beta</math> pa ugao <math>\alpha</math>  koji je suplementan uglovima <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, tj.  <math>\alpha=180^{o}-(\beta +\gamma)</math>.

Jednistveno rješenje  je ako je <math>\gamma <180^{o}</math>.

===Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj===

[[File:Resolve triangle with c alpha beta.png|thumb|right|250px]]

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha.<ref>[http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-asa-triangles.html Solving ASA Triangles] / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.</ref>

Prvo nalazimo ugao  <math>\alpha=180^{o}-(\beta +\gamma)</math>.

Sinusna teorema  daje:  <math> b=\frac {a\sin \beta}{\sin \alpha}},\;c={\frac {a\sin \gamma}{\sin \alpha}</math>}.

Za <math>a>b</math>  je  <math>a>b\sin \alpha</math> pa je  <math>\sin\beta={\frac {b\sin \alpha}{a}}<1.</math>

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao <math>\beta</math> oštar nezavisno od toga kakav je ugao <math>\alpha</math>.

Kada je <math>a<b</math> tada je <math>A<B</math>. Trougao je pravougli, ili, ako je <math>b\sin \alpha<a</math>, postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

<math>b\sin \alpha>a</math> tj. <math>\sin \beta > 1</math> ,  nema rješenja.

Kada je <math>a=b</math> tada je <math>\alpha <90^{o}</math> i <math>B<90^{o}</math>. Postoji jedinstveno rešenje.
==Reference==

[[Kategorija:Trigonometrija]]