Izvorni kôd stranice Prirodni logaritam

'''Prirodni logaritam''', od prije poznat kao [[hiperbola|hiperbolički]] logaritam,<ref>{{cite web |author=Flashman, Martin |url=http://www.humboldt.edu/~mef2/Presentations/Estimations.html |title=Estimating Integrals using Polynomials |access-date=23. 3. 2008 |archive-date=11. 2. 2012 |archive-url=https://www.webcitation.org/65NiCr1s9?url=http://www.humboldt.edu/moved/user-account-moved.php?old=mef2 |url-status=dead }}</ref> je [[logaritam]] za [[baza (matematika)|bazu]] ''[[e (broj)|e]]'', gdje je ''e'' [[iracionalan broj|iracionalna]] konstanta, čija je približna vrijednost 2,718<span style="margin-left:0.25em">281</span><span style="margin-left:0.2em">828</span>. Ponekad se koristi i naziv [[Napierov logaritam]], iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije.
Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja ''x'' je stepen na kojeg se diže broj ''e'' kako bi se dobio taj broj ''x'' — na primjer, prirodni logaritam broja ''e'' je 1 zato što je ''e''<sup>1</sup> = ''e'', dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je ''e''<sup>0</sup> = 1. Prirodni logaritam može se definisati za sve pozitivne [[realan broj|realne brojeve]] ''x'' kao [[integral|površina ispod krive]] ''y'' = 1/''t'' u granicama od 1 do ''x'', a može se definisati i kao [[kompleksan broj|kompleksni brojevi]] različiti od nule, kao što je objašnjeno u tekstu ispod. 
[[Datoteka:Log.svg|frame|Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija polahko raste ka pozitivnoj beskonačnosi kada ''x'' raste, a polahko ide na negativnog beskonačnosti kada ''x'' teži ka nula 0.]]

{{E (broj)}}

Funkcija prirodnog logaritma može se definirati i kao [[inverzna funkcija]] [[eksponencijalna funkcija|eksponencijalne funkcije]], što vodi do identiteta:

:<math>e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{ako je }x > 0\,\!</math>

:<math>\ln(e^x) = x.\,\! </math>

Drugim riješima, logaritamska funkcija je [[bijekcija]] iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je [[izomorfizam]] iz [[grupa (matematika)|grupe]] pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao [[funkcija (matematika)|funkcija]]:

:<math>\ln : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.</math>

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu ''e'', te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

== Konvencije o oznakama ==

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(''x'')" ili "ln(''x'')" u značenju log<sub>e</sub>(''x''), npr., prirodni logaritam od ''x'', i pišu "log<sub>10</sub>(''x'')" ako se traži [[dekadski logarithm|logaritam baze 10]] od ''x''.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(''x'')" (ili ponekad "log<sub>e</sub>(''x'')") kada koriste prirodni logaritam od ''x'', a koriste "log(''x'')" kada koriste log<sub>10</sub>(''x'') ili, u slučaju nekih [[informatika|informatičara]], [[binarni logaritam|log<sub>2</sub>]](''x'') (iako se ovo piše kao lg(''x'')).

Kod najčešće koristenih [[programski jezik|programskih jezika]], uključujući [[C (programski jezik)|C]], [[C++]], [[MATLAB]], [[Fortran]] i [[BASIC]], "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim [[kalkulator]]ima, prirodni logaritam je označen sa '''ln''', a '''log''' predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(''x'')" označava "log<sub>2</sub>(''x'')".

== Osobine ==

* <math>\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm za}\quad 0 < x < y\;</math>
* <math>\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm za}\quad h > -1\;</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,</math>

== Derivacija, Taylorov red ==

[[Derivacija]] prirodnog logaritma je data sa

:<math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,</math>

[[Datoteka:LogTay.svg|200px|mini|desno|Taylorovi polinomi za <math>\log_e</math>(''1+x'') pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu ''-1 < x ≤ 1''. Uočite da su, za ''x > 1'', Taylorovi polinomi višeg stepena '''''gore''''' aproksimacije.]]

Ovo vodi do [[Taylorov red|Taylorovog reda]] za <math>\ln(1+x)</math> oko <math>0</math>; također je poznat pod nazivom [[Mercatorov red]]

:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm za}\quad \left|x\right| \leq 1\quad</math>

:<math>{\rm osim ako je}\quad x = -1</math>

Desno je slika funkcije <math>\ln(1+x)</math> i nekih njenih [[Taylorov polinom|Taylorovih polinoma]] oko <math>0</math>. Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti ''-1 < x ≤ 1''; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su '''''gore''''' aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem ''x''-1 umjesto ''x'', dobijamo alternativni oblik za ln(x)

:<math>\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n</math>

:<math>\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots</math>

:<math>{\rm za}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm osim ako je}\quad x = 0.</math><ref>[http://www.math2.org/math/expansion/log.htm "Logarithmic Expansions" at Math2.org]</ref>

Korištenjem [[Binomna transformacija#Eulerova transformacija|Eulerove transformacije]] na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

:<math>\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots</math>

Ovaj red sličan je [[Bailey–Borwein–Plouffeova formula|Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli]].

Također uočite da je <math> x \over {x-1} </math> također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja ''y'', jednostavno uvrstimo u <math> y \over {y-1} </math> za ''x''.

== Prirodni logaritam u integraciji ==

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu [[integral|integraciju]] funkcija oblika ''g''(''x'') = ''f''&nbsp;'(''x'')/''f''(''x''): [[antiderivacija]] od ''g''(''x'') je data sa ln(|''f''(''x'')|). Ovo je slučaj zbog [[pravilo derivacije proizvoda|pravila derivacije proizvoda]] i sljedeće činjenice:

:<math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>

Drugim riječima,

:<math>\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C</math>

i

:<math>\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.</math>

Slijedi primjer u slučaju kada je ''g''(''x'') = tan(''x''):

:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>

Neka je ''f''(''x'') = cos(''x''), a ''f'''(''x'')= - sin(''x''):

:<math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C</math>

gdje je ''C'' [[konstanta integracije]].

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću [[parcijalna integracija|parcijalnom integracijom]]:

:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.</math>

== Također pogledajte ==

* [[John Napier]] - izumitelj logaritma
* [[Logaritamska integralna funkcija]]
* [[Nicholas Mercator]] - pri čovjek koji je koristio termin "prirodni logaritam"
* [[Polilogaritam]]
* [[Von Mangoldtova funkcija]]
* [[e (broj)|Broj ''e'']]

== Reference ==
{{refspisak}}

== Vanjski linkovi ==

* [http://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/ Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained]

[[Kategorija:Logaritmi]]
[[Kategorija:Elementarne posebne funkcije]]