Izvorni kôd stranice Poliedar

{{Nedostaju izvori}}
:'''Poliedar''' je [[geometrijsko tijelo]] ograničeno sa ravnim pločama odnosno višeugaonim [[Mnogougao|poligonima]]. [[Duž]]i u kojima se sastaju dvije susjedne strane poliedra nazivamo ivice poliedra, a tačke u kojima se sastaju susjedne ivice su vrhovi poliedra. Prostorna [[dijagonala]] poliedra je duž koja spaja dva vrha koji ne leže na jednoj stranici poliedra.
:Ako sve prostorne dijagonale poliedra leže unutar tog poliedra onda je on konveksan. 
Svaki konveksni poliedar je presjek konačnog broja poluprostora.

==Eulerova formula==
:Za svaki konveksan poliedar vrijedi
::<math>v - b + s = 2</math>
:gdje je <math>v</math> broj njegovih vrhova, <math>b</math> broj ivica, a <math>s</math> broj strana
==Vrste poliedara==
===Prizma===
:Neka su u dvjema različitim paralelnim [[Ravan|ravnima]] data dva međusobno podudarna [[poligon]]a sa paralelnim odgovarajućim stranicama. Poliedar određen tim poligonima i spojnicama odgovarajućih vrhova tih poligona naziva se prizma.
:Ta se dva poligona zovu baze (osnove) [[Prizma|prizme]], a spojnice odgovarajućih vrhova (sve su međusobno paralelne i podudarne) zovu se bočne ivice prizme. Dvije susjedne bočne ivice i dvije odgovarajuće ivice  baze čine [[paralelogram]] kojeg nazivamo strana prizme. Sve strane prizme čine njen omotač.
:Dužina koja spaja dva vrha prizme koji ne leže na istoj strani naziva se prostorna dijagonala prizme. Ako je baza prizme trougao (odnosno četverougao, petougao, . . . ), govorimo o trougloj (odnosno četverougloj, petougloj, . . . ) ili trostranoj (odnosno četverostranoj, peterostranoj, . . . ) prizmi. Uočimo da trougaona  prizma ima pet strana: dvije osnovice i tri strane.
:Prizma kojoj su bočne ivice normalne na ravan baze naziva se '''uspravna prizma''', inače se naziva '''kosa prizma'''. 
:Ivice uspravne prizme jednake su njenoj visini, a strane uspravne prizme su pravougaonici. 
:Uspravna prizma kojoj su baze pravilni poligoni naziva se '''pravilna prizma'''. Njene strane su međusobno podudarni [[Pravougaonik|pravougaonici]].
:Prizma kojoj su baze paralelogrami naziva se paralelepiped. Iz ove definicije slijedi da su sve strane paralelepipeda(ima ih šest) paralelogrami. Uspravni paralelepiped kojem su baze pravokugaonici naziva se pravokugaoni paralelepiped ([[kvadar]]).
:Pravougli paralelepiped kojem su sve ivice jednake zove se [[kocka]].
===Piramida===

<gallery>
Pyramide geometrie.png|piramida
</gallery>
:Neka su zadani konveksni n-terougao <math>A_1A_2...A_n</math> u ravni <math>\alpha</math> i tačka V koja ne leži u <math>\alpha</math>.
:Poliedar određen tim n-terouglom i spojnicama tačke V s vrhovima tog n-terougla naziva se (n-terostrana ) piramida (za <math>n = 3</math> trostrana piramida, za <math>n = 4</math> četverostrana piramida, . . . ). Mnogougao <math>A_1A_2...A_n</math> naziva se baza (osnovica) piramide, tačke <math>A_1</math>, <math>A_2</math> ... <math>A_n</math> su vrhovi baze, a tačka V vrh piramide. Stranice n-terougla <math>A_1A_2...A_n</math> zovu se ivice baze, a spojnice vrha V s vrhovima baze zovu se bočne ivice piramide. Trougao koji se sastoji od ivica baze i dvje odgovarajuće bočne ivice naziva se strana piramide. Sve strane [[Piramida (geometrija)|piramide]] čine njen omotač.
:Spojnica vrha V i njegove normalne projekcije na ravan <math>\alpha</math> naziva se visina piramide.
:Za piramidu kažemo da je uspravna ako je normalna projekcija vrha piramide središte baze (taj pojam ima smisla npr. kada je baza pravilni mnogougaonik ili pravougaonik).
:Kažemo da je piramida pravilna ako je uspravna, a baza joj je pravilni mnogougao
:Trostrana piramida naziva se tetraedar. Baza, ali i sve tri strane tetraedra su [[Trougao|trouglovi]].
:Bilo koji od ta četiri trougla može se uzeti za bazu piramide.
:Piramidu presjecimo s ravni <math>\alpha_2</math> koja je paralelna ravni njene baze <math>\alpha_1</math>, tako da u ravni <math>\alpha_2</math> dobijemo mnogougao koji je sličan bazi te piramide. Dio posmatrane piramide omeđen ravnima <math>\alpha_1</math> i <math>\alpha_2</math> je krnja piramida. Njene baze su mnogouglovi u tim dvjema ravnima. Njene strane su trapezi. Krnja piramida nije piramida.

===Površina poliedra===
:Površina [[Geometrijsko tijelo|geometrijskog tijela]] je ukupna površina svih ploha koje ga omeđuju. Površina poliedra je zbir površina svih njegovih strana.
:;Prizma
:B – površina baze
:P – površina strane, 
:o –obim baze
:v – dužina visine
::<math>P= = 2B + P</math> 
:Za uspravnu prizmu vrijedi
::<math>P = 2B + ov.</math>
:;Piramida
:B – površina baze
:P – površina strane
:v – dužina visine
::<math>P = B + P</math>
:;Krnja piramida
::<math>B_1</math>, <math>B_2</math> – povrsine baza
:P – površina strana
:v – dužina visine
::<math>P = B_1 + B_2 + P</math>

===Volumen===
Volumen [[Geometrijsko tijelo|geometrijskog tijela]] je mjera prostora kojeg tijelo zauzima.
:;Prizma
::<math>V = Bv</math>
:;Piramida
::<math>V = 	\frac{1}{3}Bv</math>
:;Krnja piramida
::<math>V = \frac{v}{3}(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1B_2})</math>
== Pravilni poliedri ==

Pravilni poliedri su poliedri kome su stranice pravilni mnogougaonici. 
=== Vrste poliedara ===
:Postoji 5 vrsta pravilnih konveksnih poliedara 
*Tetraedar 
Stranice mu čini 4 trougla, ima 8 bridova i 4 vrha 
*Heksaedar ([[kocka]])
Stranice mu čini 6 [[kvadrat]]a, ima 12 bridova i 8 vrhova 
*Oktaedar
Stranice mu čini 8 trouglova, ima 12 bridova i 8 vrhova 
*Dodekaedar 
Stranice mu čini 12 petouglova, ima 30 bridova i 20 vrhova 
*Ikosaedar
Stranice mu čini 20 trouglova, ima 30 bridova i 12 vrhova 
===Kocka===
[[Kocka]] je je pravilna četverostrana prizma. Spada u [[paralelepipede]]. Sastoji se od šest podudarnih kvadrata, njenih strana. Ima 12 ivica i 8 vrhova.
:;Formule
:Zapremina <math>V=a^3</math>
:Površina <math>P=6a^2</math>
:Manja dijagonala <math>d=a\sqrt{2}</math>
:Prostorna dijagonala <math>D=a\sqrt{3}</math>
:Radijus upisane sfere <math>r_u=\frac{a}{2}</math>
:Radijus opisane sfere <math>r_o=\frac{{\sqrt 3} a}{2}</math>

===Oktaedar===
:[[Oktaedar]] je [[geometrijsko tijelo]] omeđeno sa osam međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostraničnih trouglova i raspoređene su tako da tijelo ima dvanaest ivica i šest tjemena.
:Oktaedar se još može opisati i kao jednakostranična četvrostrana bipiramida i kao jednakostranična linearna antiprizma.
:;Formule 
:Zapremina <math>V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3</math>
:Površina <math>P = 2\sqrt{3} a^2</math></math>
:Poluprečnik upisane sfere <math>r_u = \frac{\sqrt{6}}{6} a</math>
:Poluprečnik opisane sfere <math>r_o = \frac{\sqrt{2}}{2} a</math>

===Ikosaedar===
:[[Ikosaedar]] je  omeđen  sa dvadeset međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostraničnih trouglova. Raspoređene su tako da tijelo ima trideset ivica i dvanaest tjemena.
:;Formule
#Površina <math>P = 5 \sqrt{3} a^2</math>
#Zapremina<math>V = \frac{5}{12} \left(3 + \sqrt{5} \right) a^3</math>
#Poluprečnik upisane sfere <math>r_u = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3 + \sqrt{5} \right)</math>
#Poluprečnik upisane sfere<math>r_o = \frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}</math>

===Dodekaedar===
[[Dodekaedar]] je [[geometrijsko tijelo]] omeđeno sa dvanest međusobno podudarnih površi koje imaju oblik 
:; Formule 
:Površina <math>P = 3 \sqrt{25+10\sqrt{5}} \, a^2</math>
:Zapremina <math>V = \frac{1}{4} \left(15+7 \sqrt{5} \right) a^3</math>
:Poluprečnik upisane sfere |<math>r_u = \frac{\sqrt{5}}{20} \sqrt{50 + 22 \sqrt{5}} \, a</math>
:Poluprečnik opisane sfere <math>r_o = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(1 + \sqrt{5} \right) \, a</math>

===Tetraedar===
:[[Tetraedar]] je [[geometrijsko tijelo]] koga ograničavaju četiri trougaone površi i, koje zajedno sa dijelom prostora koga omeđuju jednoznačno formiraju tijelo sa četiri tjemena i šest ivica.
:Naziv se u koristi za pravilni tetraedar, kod koga su ove četiri površi podudarni jednakostranični trouglovi.
:;Formule
:Površina <math>P=\sqrt{3}a^2</math>
:Zapremina <math>V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}\sqrt{2}a^3</math>
:Poluprečnik opisane sfere <math>r_o \, = \, \frac{\sqrt{6}}{4} \, a \approx 0{,}61 \, a</math>
:Poluprečnik upisane sfere <math>r_u \, = \, \frac{\sqrt{6}}{12} \, a \approx 0{,}20 \, a</math>
:Visina <math>h = r_o + r_u \, = \, \frac{\sqrt{6}}{3} \, a \, = \, \sqrt{\frac{2}{3}} \, a\approx 0{,}82 \, a</math>
:Ugao između ivice i površi <math>arctg \sqrt{2} \approx 55^\circ</math>
:Ugao između dvije površi <math>\arccos {1/3} = arctg 2\sqrt{2} \approx 71^\circ</math>

==Polupravilni poliedri==
:Pappus iz Aleksandrije u svom radu ''Sinagoga'' (sakupljanje, sabira) naveo trinaest tijela koja se zovu polupravilni ili [[Arhimed]]ovi poliedri
:[[Johannes Kepler]] je pisao o takvim poliedrima u svojoj knjizi ''Harmonices mundi''.
:Eulerovu formulu mozemo koristiti pri proučavanju polupravilnih poliedara.
:Polupravilni poliedri imaju za strane pravilne mnogouglove ali dvije različite vrste.
:Npr. nogometna lopta sastoji se od pravilnih petouglova i šesteuglova
:U svakom vrhu sastaju se jedan petougao i dva šestougla.
:Odredit ćemo broj vrhova nogometne lopte. Označimo ukupan broj petougaonih strana sa m, a ukupan broj šestougaonih sa n.
:<math>S=m+n=B =\frac{5m+6n}{2}</math>
:<math>V=\frac{5m+6n}{3}</math>
:Iz Eulerove formule slijedi <math>m+n=12</math>
:Kako svaki vrh pripada tačno jednom petouglu, ukupan broj vrhova je <math>5m = 60</math>
:U svakom vrhu sastaju dva šestougla, broj vrhova jednak je i <math> \frac{6n}{2}=3n</math>
:<math>n = 20</math>
:Dakle nogometna lopta ima 12 petougaonih i 20 šestougaonih strana, 60 vrhova i 90 ivica.
===Antiprizma===
Zapremina
:<math>V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}} \; a^3</math>.
:Površina
:<math>P = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.</math>

;Podjela Arhimedovih tijela

:;I grupa
Pet poliedara ove grupacije nastaje odsijecanjem vrhova Platonovih tijela te čini grupu krnjih poliedara

{| class="wikitable"
|-
| Krnji tetraedar || (3,6,6)
|-
| Krnji heksaedar || (3,8,8)
|-
| Krnji oktaedar || (4,6,6)
|-
| Krnji dodekaeda || (3,10,10)
|-
| Krnji ikosaedar|| (5,6,6)
|}

:;II grupa
Grupa od  četiri polupravilna poliedra jednostavno se može povezati s kockom i oktaedrom. Naziva se grupa kubokta poliedara.
{| class="wikitable"
|-
| Kuboktaedar || (3,4,3,4)
|-
| Rombokuboktaedar || ((3,4,4,4
|-
| Veliki rombokuboktaedar || (4,6,8)
|-
| Skošena kocka|| ((3,3,3,3,4)

|}
:;III grupa

Ova grupa od četiri polupravilna poliedra  može se povezati s dodekaedrom i ikosaedrom. Naziva se grupa
ikosadodeka poliedara
{| class="wikitable"
|-
| Ikosadodekaedar || (3,5,3,5)
|-
| Rombikosadodekaedar || ((3,4,5,4
|-
| Veliki rombikosadodekaedar || (4,6,10)
|-
| Skošeni dodekaedar|| ((3,3,3,3,5)

|}

U novije vrijeme raspravlja se o još jednom polupravilnom konveksnom poliedru  koji nastaje zakretanjem jedne kalote (kape ) rombokuboktaedra.  Poznat je pod nazivom pseudo–rombokuboktaedar.
===Osobina enantiomorfizma===
Zanimljivu osobinu imaju skošena kocka (Cubus Simus) i skošeni dodekaedar (Dodecaedron simum) To su jedina Arhimedova tijela koja ne posjeduju ravan simetrije i nemaju središte simetrije.
Svako od ovih dvaju tijela javlja se u dvije forme koje se razlikuju po svojim orijentacijama. Za figure s ovim sosobinama kažemo dasu enantiomorfne figure, odnosno figure čija  slika u ogledalu  nije identična originalnoj slici

==Poliedri u višedimenzionalnom prostoru==
:Eulerovu formulu možemo poopštiti za višedimenzionalne prostore.
:Sa <math>N_0</math> označimo broj vrhova, a sa <math>N_1</math> broj ivica
:Sa N_k označimo broj k-dimenzionalnih strana n-dimenzionalnog politopa
:onda vrijedi sljedeće
:<math>\textstyle \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k* N_k=1+ (-1)^n</math>
:Za parne dimenzije (2,4,6,...) iznosi 0 (nula)
:Za neparne dimenzije (3,5,7,...) iznosi 2
:Simpleks je analogon trougla i tetraedra. Simpleks sa 5 vrhova A,B,C,D,E, je četverodimenzionalno tijelo koje ima 10 ivica AB, AC,..., 10 dvodimenzionalnih strana, 5 trodimenzionalnih strana pa je <math>5-10+10-5=0</math>
:Hiperkocka ima 16 vrhova, 32 ivice, 24 dvodimenzionalne strane i 8 trodimenzionalnih strana <math>16-32+24-8=0</math>

== Također pogledajte ==
* [[M. C. Escher]]

==Reference==

# [http://www.grad.hr/geomteh3d/posteri/polupravilni_poster.pdf POLUPRAVILNI POLIEDRI]
# [https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/eg/dodatni/7.stereometrija.pdf Stereometrija]{{Mrtav link}}

{{Commonscat|Polyhedra}}

[[Kategorija:Poliedri| ]]