Izvorni kôd stranice Osmougao

U [[geometrija|geometriji]],  '''oktagon''' ([[starogrčki|grčki]]: ὀκτάγωνον – ''oktágōnon'' = osam uglova) je osmostrani [[poligon]] ili 8-ugao.

[[Pravilni poligon|Pravilni]] oktogon  ima [[Schläflijev simbol]] {8}<ref>{{citation|title=Polyhedron Models|first=Magnus J.|last=Wenninger|publisher=Cambridge University Press|year=1974|page=9|isbn=9780521098595|url=https://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA9}}.</ref> a može se konstruirati i kao kvaziregularni [[skraćivanje (geometrija)|skraćeni]] [[kvadrat]], t {4}, koji izmjenjuje dvije vrste bridova. Skraćeni osmerokut, t {8} je [[heksadekagon]], {16}. 3D analog osmougla može biti [[rombikuboktaedar]] s trouglastim licima na njemu poput zamijenjenih ivica, ako se smatra da je osmerougao krnji kvadrat

== Osobine općeg oktogona ==

[[Datoteka: A generalization van Aubel theorem.svg|thumb|left|400px| Dijagonale zelenog četverokuta jednake su dužine i pod pravim uglom]]

Zbir svih unutrašnjih uglova bilo kojeg oktogona iznosi 1080°. Kao i kod svih poligona, vanjski uglovi iznose ukupno 360°.

Ako su kvadrati konstruirani iznutra ili sa svih strana na stranama oktogona, tada centrale tečke segmenata koji povezuju središta suprotnih kvadrata čine četverougao koji je i [[ekvidijagonalni četverokut|ekvidijagonalni]] i [[ortodijagonalni četverokut|ortodijagonalni]]  (tj. čije su dijagonale jednake dužine i pod pravim su uglom).<ref name=Oai>Dao Thanh Oai (2015), "Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers", ''Forum Geometricorum'' 15, 105--114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150705033424/http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html |date=5. 7. 2015 }}</ref>{{rp|Prop. 9}}

[[Središnji poligon]] referentnog oktogona ima  osam vrhova u centralnim tačkama stranica referentnog oktogona. Ako su kvadrati konstruirani iznutra ili sa svih strana na stranama osmerougane središnje tačke, tada centralne tačke segmenata koji povezuju središta suprotnih kvadrata čine vrhove kvadrata.<ref name = Oai />

{{-}}

== Pravilni osmerokut ==
[[Pravilni poligon|Pravilni]] oktogon je zatvorena [[Oblik|slika]] sa stranicama iste dužine i unutrašnjim uglovima iste veličine. Ima osam linija [[reflektivna simetrija|reflektivne]] i [[rotacijska simetrija|rotacijske simetrije]] reda 8. Pravilni osmerokut predstavljen je [[Schläflijev simbolol|Schläflijevim simbolom]] {8}.

Unutrašnji [[ugao]] na svakom vrhu pravilnog oktogona je 135 [[stepen (ugao)|°]] (<math>\scriptstyle \frac{3\pi}{4}</math> [[radijan]]e). [[Centralni ugao]]  je 45° (<math>\scriptstyle \frac{\pi}{4}</math> radians).

=== Područje ===
Područje pravilnog oktogona bočne dužine ''a'' dato je prema
:<math>A = 2 \cot \frac{\pi}{8} a^2 = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4.828\,a^2.</math>

U smislu [[Ograničeni krug|obima]] ''R'', područje
:<math>A = 4 \sin \frac{\pi}{4} R^2 = 2\sqrt{2}R^2 \simeq 2.828\,R^2.</math>

U terminu [[apotem]]e  ''r'', područje je
:<math>A = 8 \tan \frac{\pi}{8} r^2 = 8(\sqrt{2}-1)r^2 \simeq 3.314\,r^2.</math>

Ova dva  potonja  [[koeficijent]]a zagrađuju vrijednost [[pi]], površine [[jedinični krug|jediničnog kruga]].
[[Datoteka: Octagon in square.svg | frame | Područje [[pravilni poligon|pravilnog]] oktogona može se izračunati kao skraćeni [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]].]]

Područje se također može izraziti kao 
:<math>\,\!A=S^2-a^2,</math>

gdje ''S'' = raspon oktagona ili druga najkraća dijagonala; ''a'' je dužina jedne od stranica ili osnova. To se lahko može dokazati ako se uzme osmerogao, nacrta kvadrat oko vanjske strane (pazeći da se četiri od osam stranica preklapaju sa četiri stranice kvadrata), a zatim se uzmu ugaoni trouglovi (to su [[posebni desni trougao|45–45–90 trouglovi]]) i postavljaju pod pravim uglom usmjerenim prema unutra, čineći kvadrat. Rubovi ovog kvadrata dužine su baze.

S obzirom na dužinu stranice ''a'', raspon ''S'' 
:<math>S=\frac{a}{\sqrt{2}}+a+\frac{a}{\sqrt{2}}=(1+\sqrt{2})a \approx 2.414a.</math>
Raspon je, dakle, jednak ''[[srebreni omjer|srebrenom omjeru]]'' puta stranice, a.

Tada je područje kao gore:
:<math>A=((1+\sqrt{2})a)^2-a^2=2(1+\sqrt{2})a^2 \approx 4.828a^2.</math>

U teminima raspona, posručje je:
:<math>A=2(\sqrt{2}-1)S^2 \approx 0.828S^2.</math>

Druga jednostavna formula za područje je
:<math>\ A=2aS.</math>

Češće je poznat raspon '' S '', a dužinu stranice ''a'' treba odrediti, kao pri rezanju četvrtastog komada materijala u pravilni osmerougao. Iz navedenog:

:<math>a \approx S/2.414.</math>

Dvije krajnje dužine ''e'',  sa svake strane (dužine krakova trougala, zelene na slici,  odsječene od kvadrata), kao i  
<math>e=a/\sqrt{2},</math> može se izračunati iz
:<math>\,\!e=(S-a)/2.</math>

===Cirkumradijus i inradijus===
[[Cirkumradijus]] pravilnog oktogona u smislu dužine stranice '' a '' je<ref>Weisstein, Eric. "Octagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Octagon.html</ref>

:<math>R=\left(\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}\right)a,</math>

a  in[[radijus]] :

:<math>r=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)a.</math>
(to je polovina ''[[srebreni omjer|srebrenom omjeru]]'' puta  stranice, ''a'' ili poluraspona,''S'')

===Dijagonale===
Pravilni oktogon, u smislu dužine stranice ''a'', ima tri različita tipa  [[dijagonala]] :

* Kratka dijagonala:
*Srednja dijagonala (koja se naziva i raspon ili visina) je dvostruka dužina radijusa;
* Duga dijagonala, koja je dvostruko veća od dužine opsega.

Formula za svaku od njih slijedi iz osnovnih principa geometrije. Evo formula za njihovu dužinu:

* Kratka dijagonala: <math>a\sqrt {2+\sqrt2}</math>;
* Srednja dijagonala: <math>(1+\ sqrt2)a</math>  ('' [[srebreni omjer]]'' puta a)
* Duga dijagonala: <math>a\sqrt{4 + 2\sqrt2}</math>.

===Konstrukcija i osnovna svojstva===
[[slika:8-folding.svg|thumb|left| Izgradnja pravilnog ktagona presavijanjem lista papira]]
{{clear}}
Pravilni oktagon u datom opisanom krugu može se konstruirati na sljedeći način:
# Nacrtati krug i promjer AOE, gdje je O središte, a A, E tačke na opisanoj kružnici.
# Nacrtati još jedan prečnik GOC, okomit na AOE.
# (Uzgred uočiti da su A, C, E, G vrhovi kvadrata).
# Nacrtati simetrale pravih uglova GOA i EOG, praveći još dva promjera HOD i FOB.
# A, B, C, D, E, F, G, H su tjemena oktogona.

{{multiple image
| align = left
| image1 = 01-Octagon.svg
| width1 = 482 
| alt1 = 
| caption1 = Oktagon na datom cirkumkrugu
| image2 = 01-Achteck-Seite-gegeben Animation.gif
| width2 = 345
| alt2 = 
| caption2 = Oktagon na datoj dužinskoj strani, animacija<br />
(Konstrukcija je vrlo slična konstrukciji [[Heksadekagon| heksadekagona na određenoj dužini stranice]].)
}}
{{clear}}

Pravilni osmerokut može se konstruirati pomoću [[ravnanjeravnanja]] i [[kompas]]a, kao 8 = 2<sup>3</sup>, [[snaga dvojke
[[slika:Regular Octagon Inscribed in a Circle.gif|left|508px]]
{{clear}}

[[slika:Meccano octagon.svg|thumb|Konstrukcija Meccanoovog oktagona.]]
Pravilni osmerokut može se konstruirati pomoću Meccanoovih crtica. Potrebno je dvanaest šipki veličine 4, tri šipke veličine 5 i dvije šipke veličine 6.
{{clear}}

Svaka strana pravilnog osmerokutu ima pola pravog ugla u središtu kruga koji povezuje njegove vrhove. Njegova površina tako se može izračunati kao zbir osam jednakokračnih trouglova, što dovodi do rezultata: 
:<math>\text{A} = 2 a^2 (\sqrt{2} + 1)</math>
:A=Područje za oktagon sa stranicom  ''a''.

===Standardne  koordinate===
Koordinate vrhova pravilnog oktogona usredotočenog na ishodište i dužine stranice 2 su:
*(±1, ±(1+<math>\sqrt{2}</math>)) 
*(±(1+(<math>\sqrt{2}</math>), ±1).

===Disekcija===
{| class=wikitable align=right
![[8-kub]]na projekcija
!colspan=2|24-romboidna disekcija
|- align=center
|[[File:8-cube t0 A7.svg|160px]]
|[[File:8-gon rhombic dissection-size2.svg|160px]]<BR>Pravilni
|[[File:Isotoxal 8-gon rhombic dissection-size2.svg|160px]]<BR>Izotoksni
|-
|[[File:8-gon rhombic dissection2-size2.svg|160px]]
|[[File:8-gon rhombic dissection3-size2.svg|160px]]
|}
[[Cokseter]] navodi da se svaki [[zonogon]] (gon od 2''m '' čije su suprotne stranice paralelne i jednake dužine) može secirati na ''m'' (''m'' –1)/2 paralelograma.<ref>Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141</ref>

To posebno vrijedi za pravilne poligone s jednako mnogo stranica, u kojemslučaju ssu vi paralelogrami rombovi. Za ''pravilni oktogon'',  ''m'' = 4, a može se podijeliti u šest rombova, s jednim primjerom prikazanim dolje. Ova razgradnja može se vidjeti kao 6 od 24 lica 
u [[Petrijev poligon|Petrijevim poligonima]] projekcije ravni [[teserakt]]. Lista [[OEIS1|A006245]] definira broj rješenja kao 8, prema 8 orijentacija ove disekcije. Ti kvadrati i rombovi koriste se u [[Ammann - Beenkerova pločica|Ammann-Beenkerovim pločicama]]
{| class=wikitable
|+ Disecirani pravilni oktagon 
|- align=center valign=top
|[[slika:4-cube_t0.svg|160px]]<BR>[[Teserakt]]
|[[slika:Dissected octagon.svg|160px]]<BR>4 [[romb]]a i  2 [[kvadrat]]a
|}

==Također pogledajte==
* [[Trougao]]
* [[Kvadrat]]
* [[Oktogonski broj]]
* [[Oktagram]]
* [[Oktaedar]], 3D oblik sa osam lica.

== Reference ==
{{Reflist}}

==Vanjski linkovi==
{{Wikirječnik}}

*[http://rechneronline.de/pi/octagon.php Octagon Calculator]
*[http://www.mathopenref.com/octagon.html Definition and properties of an octagon] With interactive animation
{{Poligoni}}

[[Kategorija:Osam (broj)]]
[[Kategorija:Poligoni po broju stranica]]
[[Kategorija:Elementarni oblici]]