Izvorni kôd stranice Operacija (matematika)

{{distinguish|Operator (matematika)}}
[[slika:Basic arithmetic operators.svg|thumb|right|[[Elementarna matematila|Elementarne aritmetičke]] operacije:{{unbulleted list
| style=margin-left:1.6em;
| +, plus (sabiranje)
| −, minus (oduzimanje)
| ÷, obelus (dijeljenje)
| ×, times (množenje)
}}]]
U [[matematika|matematici]], '''operacija''' je [[Funkcija (matematika)|funkcija]] koja uzima nula ili više ulaznih vrijednosti (također se nazivaju "''[[operand]]i''" ili "argumenti") na dobro definiranu izlaznu vrijednost. Broj operanda je [[aritet]] operacije.
 
Najčešće proučavane operacije su [[binarne operacije]] (tj. operacije aritnosti&nbsp;2), kao što su [[sabiranje]] i [[množenje]], i [[unarne operacije]] (tj. operacije arity&nbsp;1), kao što su [[aditivna inverzija]] i [[multiplikativna inverzija]]. Operacija ariteta nula, ili [[nulska operacija]], je [[konstanta (matematika)|konstanta]].<ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_operation|title=Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=10. 12. 2019}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.math.hawaii.edu/~williamdemeo/latticetheory/Glossary.pdf|title=Universal Algebra Notes|last=DeMeo|first=William|date=26. 8. 2010|website=math.hawaii.edu|access-date=9. 12. 2019|archive-date=19. 5. 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210519000135/http://www.math.hawaii.edu/~williamdemeo/latticetheory/Glossary.pdf|url-status=dead}}</ref> [[Mješoviti proizvod]] je primjer operacije aritnosti&nbsp;3, koja se također naziva [[ternarna operacija]].
 
Općenito, aritnost se uzima kao konačna. Međutim, [[infinitarne operacije]] se ponekad razmatraju,<ref name=":1"/> u kom slučaju se "uobičajene" operacije konačne arititnosti nazivaju '''finitarne operacije'''.
 
'''Djelimična operacija''' je definirana slično operaciji, ali sa [[djelimična funkcija|djelimičnom funkcijom]] umjesto funkcije.
 
==Tipovi operacija==
[[Slika:Binary operations as black box.svg|thumb|Binarna operacija uzima dva argumenta: <math>x</math> i <math>y</math> i vraća rezultat <math>x\circ y</math>.]]
Postoje dva uobičajena tipa operacija: [[unarna operacija|unarna]] i [[binarna operacija|binarna]]. Unarne operacije uključuju samo jednu vrijednost, kao što su [[negacija]] i [[trigonometrijska funkcija]].<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Unary Operation|url=https://mathworld.wolfram.com/UnaryOperation.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Binarne operacije, s druge strane, uzimaju dvije vrijednosti i uključuju [[sabiranje]], [[oduzimanje]], [[množenje]], [[Deljenje (matematika)|deljenje]] i [[eksponent|eksponencijacija]].<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Binary Operation|url=https://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
 
Operacije mogu uključivati matematičke objekte osim brojeva. [[Vrijednost tačnosti|logičke vrijednosti]] "tačno" i "netačno" mogu se kombinirati korištenjem [[logička operacija|logičkih operacija]], kao što su ''i'', ''ili'' i '' ne''. [[vektor (geometrija)|Vektori]] se mogu dodavati i oduzimati.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Vector|url=https://mathworld.wolfram.com/Vector.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en|quote=Vectors can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...}}</ref> [[rotacija|Rotacije]] se mogu kombinovati pomoću operacije [[funkcija sastavljanja]], izvodeći prvu rotaciju, a zatim drugu. Operacije na [[Skup (matematika)|skupove]] uključuju binarne operacije ''[[Unija (matematika)|unija]]'' i ''[[presjek (matematika)|presjeka]]'' i unarnu operaciju ''[[Komplementacija (matematika)|komplementacija]]''.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Union|url=https://mathworld.wolfram.com/Union.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Intersection|url=https://mathworld.wolfram.com/Intersection.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Complementation|url=https://mathworld.wolfram.com/Complementation.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Operacije na [[funkcija (matematika)|funkcijama]] uključuju [[funkcija sastavljanja|sastavljane]] i [[konvolucija|konvoluciju]].<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Composition|url=https://mathworld.wolfram.com/Composition.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Convolution|url=https://mathworld.wolfram.com/Convolution.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
 
Operacije ne moraju biti definirane za svaku moguću vrijednost njenog ''[[funkcijski domen|domena]]''. Naprimjer, u realnim brojevima se ne može dijeliti sa nulom <ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Division by Zero|url=https://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ili uzeti kvadratni korijen negativnih brojeva. Vrijednosti za koje je definirana operacija formiraju skup koji se naziva "domen definicije" ili "aktivni domen". Skup koji sadrži proizvedene vrijednosti naziva se ''[[kodomen]]'', ali skup stvarnih vrijednosti koje se postižu operacijom je njegov kodomen definicije, aktivni kodomen, ''[[Slika (matematika)|slika]]'' ili ''[[Raspon funkcije|opseg]]''.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Domain|url=https://mathworld.wolfram.com/Domain.html|access-date=8. 8. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Naprimjer, u realnim brojevima, operacija kvadriranja proizvodi samo nenegativne brojeve; kodomen je skup realnih brojeva, ali raspon su nenegativni brojevi.
 
Operacije mogu uključivati različite objekte: vektor se može pomnožiti sa [[skalar (matematika)|skalarom]] da bi se formirao drugi vektor (operacija poznata kao [[skalarno množenje]]),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Scalar Multiplication|url=https://mathworld.wolfram.com/ScalarMultiplication.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> a operacija [[unutrašnji proizvod]] na dva vektora proizvodi količinu koja je skalarna.<ref>{{Cite book|last1=Jain|first1=P. K.|url=https://books.google.com/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA203|title=Functional Analysis|last2=Ahmad|first2=Khalil|last3=Ahuja|first3=Om P.|date=1995|publisher=New Age International|isbn=978-81-224-0801-0|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inner Product|url=https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html|access-date=27. 7. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Operacija može, ali i ne mora imati određena svojstva, naprimjer može biti [[asoc ijativnost|asocijativna]], [[komutativnost|komutativna]], [[antikomutativnost|antikomutativna]], [[idempotentnost|idempotentna]], itd.
 
Kombinirane vrijednosti nazivaju se ''operandi'', ''argumenti'' ili ''ulazi'', a proizvedena vrijednost naziva se ''vrijednost'', ''rezultat'' ili ''izlaz''. Operacije mogu imati manje ili više od dva ulaza (uključujući slučaj nultog ulaza i beskonačno mnogo ulaza<ref name=":1"/>).
 
'''Operator''' je sličan operaciji po tome što se odnosi na simbol ili proces koji se koristi za označavanje operacije; stoga je njihova tačka gledišta drugačija. Naprimjer, često se govori o "operaciji sabiranja" ili "operaciji adicije", kada se fokusira na operande i rezultat, ali se prebacuje na "operator sabiranja" (rijetko "operator sabiranja"), kada se fokusiramo na proces , ili sa više simbolične tačke gledišta, funkcija {{nowrap|+: ''X'' × ''X'' → ''X''}}.

==Definicija==
'''''n''-ska operacija''' ''ω'' iz {{nowrap|''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub>}} do ''Y'' je [[Funkcija (matematika)|funkcija]] {{nowrap|''ω'': ''X''<sub>1</sub > × … × ''X''<sub>''n''</sub> → ''Y''}}. Skup {{nowrap|''X''<sub>1</sub> × … × ''X''<sub>''n''</sub>}} se zove ''domena'' operacije, skup ''Y'' se naziva ''kodomen'' operacije, a fiksni nenegativni cijeli broj ''n'' (broj operanada)  naziva se''[[aritnost]]'' operacije. Tako [[unarna operacija]] ima arititet jedan, a [[binarna operacija]] ima arititet dva. Operacija ariteta nula, nazvana ''nularna'' operacija, jednostavno je element kodomene ''Y''. ''n''-arna operacija se također može posmatrati kao {{nowrap|(''n'' + 1)}}-arni [[Finitary relation|relation]] koja je [[Finitarna relacija|ukupno]] na svojim ''n'' ulaznim domenima i [[Finitarna relacija|jedinstveni]] na njegovoj izlaznoj domeni.
 
'''''n''-ska djelimična operacija''' ''ω'' iz {{nowrap|''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub>}} do ''Y'' je [[djelimična funkcija]] {{nowrap|''ω'': ''X''<sub>1</sub> × … × ''X''<sub>''n''</sub> → ''Y''}}. Parcijalna ''n''-ska operacija se također može posmatrati kao {{nowrap|(''n'' + 1)}}-arna relacija koja je jedinstvena na svom izlaznom domenu.
 
Gore navedeno opisuje ono što se obično naziva '''finitarna operacija''', a odnosi se na konačan broj operanada (vrijednost ''n''). Postoje očigledne ekstenzije u kojima se aritnost uzima kao beskonačan [[redni broj|redni]] ili [[kardinalni broj|kardinal]],<ref name=":1"/> ili čak proizvoljan skup koji indeksira operande.
 
Često, upotreba termina ''operacija'' implicira da domen funkcije uključuje moć kodomena (tj. [[Kartezijanski proizvod]] jedne ili više kopija kodomena),<ref>{{cite book|chapter=Chapter II, Definition 1.1|first1=S. N.|last1=Burris|first2=H. P.|last2=Sankappanavar|title=A Course in Universal Algebra|publisher=Springer|date=1981|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html}}</ref> iako ovo nikako nije univerzalno, kao u slučaju [[tačkasti proizvod|tačkastog proizvoda]], gdje se vektori množe i rezultiraju skalarom. ''n''-ska operacija {{nowrap|''ω'': ''X''<sup>''n''</sup> → ''X''}} naziva se ''' {{vanchor|interna operacija}}''. ''n''-ska operacija {{nowrap|''ω'': ''X''<sup>''i''</sup> × ''S'' × ''X''<sup >''n'' − ''i'' − 1</sup> → ''X''}} gdje {{nowrap|0 ≤ ''i'' < ''n''}} naziva se '''eksterna operacija'' pomoću ''skalarnog skupa'' ili ''skupa operatora'' ''S''. Posebnoast za binarnu operaciju {{nowrap|''ω'': ''S'' × ''X'' → ''X''}} se naziva '''levo-vanjska operacija''' od strane ''S'', i {{nowrap|''ω'': ''X'' × ''S'' → ''X''}} je naziv '''desno-vanjska operacija''' od strane ''S''. Primjer interne operacije je [[vektorsko dodavanje]], gdje se dva vektora dodaju i rezultiraju vektorom. Primjer eksterne operacije je [[skalarno množenje]], gdje se vektor množi sa skalarom i rezultira vektorom.
 
'''''n''-ski multifunkcionalni''' ili '''{{vanchor|multioperacijski}}''' ''ω'' je preslikavanje iz kartezijanske potencije skupa u skup podskupova taj skup, formalno {{math|''ω'': ''X''<sup>''n''</sup> → {{math|P}}(''X'')}}.<ref>{{cite journal |last1=Brunner |first1=J. |last2=Drescher |first2=Th. |last3=Pöschel |first3=R. |last4=Seidel |first4=H. |date=Jan 1993 |title=Power algebras: clones and relations |url=https://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~poesch-r/poePUBLICATIONSpdf/1993_Brunner_Dre_Poe_Sei.pdf |journal=EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik) |volume=29 |issue= |pages=293-302 |doi= |access-date=25. 10. 2022}}</ref>

==Također pogledajte==
* [[Finitarni odnos]]
* [[Hiperoperacija]]
* [[Operator (matematika)|Operator]]
* [[Red operacija]]
 
==Reference==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Operacija (matematika)}}
[[Kategorija:Elementarna matematika]]
[[Kategorija:Operacije na brojevima| ]]