Izvorni kôd stranice Numerička analiza

[[Datoteka:Ybc7289-bw.jpg|desno|mini|250x250piksel| Babilonska glinena ploča [[YBC 7289]] (oko 1800–1600. pne) s napomenama. Aproksimacija [[Kvadratni korijen iz 2|kvadratnog korijena od 2]] je četiri [[Seksagezimalni brojevni sistem|seksagezimalne]] brojke, što otprilike predstavlja broj šest u [[Dekadni sistem brojeva|dekadom sistemu]]. 1 + 24/60 + 51/60 <sup>2</sup> + 10/60 <sup>3</sup> = 1,41421296...<ref>{{Cite web|url=http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html|title=Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection|archive-url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html|archive-date=13. 8. 2012|url-status=dead|access-date=2. 10. 2006}}</ref>]]
'''Numerička analiza''' se bavi proučavanjem [[algoritam]]a koji koriste numeričku [[Aproksimacija|aproksimaciju]] (nasuprot [[Simboličko računanje|simboličkih manipulacija]]) za probleme [[Matematička analiza|matematičke analize]] (za razliku od [[Diskretna matematika|diskretne matematike]]). Ona proučava numeričke metode koje pokušavaju pronaći približna, a ne egzaktna  rješenja problema. Numerička analiza nalazi primjenu u svim oblastima inženjerstva i prirodnih nauka, a u 21. stoljeću i u životnim i društvenim naukama, medicini, biznisu, pa čak i umjetnosti. Trenutni rast računarske snage omogućio je upotrebu složenijih numeričkih analiza, pružajući detaljne i realistične matematičke modele u nauci i inženjerstvu. Primjeri numeričke analize uključuju: [[Obična diferencijalna jednačina|obične diferencijalne jednačine]] koje se mogu pronaći u [[Nebeska mehanika|nebeskoj mehanici]] (predviđanje kretanja planeta, zvijezda i galaksija), [[Numerička linearna algebra|numeričku linearnu algebru]] u analizi podataka,<ref>{{Cite book|last=Demmel|first=J.W.|url=https://epubs.siam.org/doi/epdf/10.1137/1.9781611971446.fm|title=Applied numerical linear algebra|date=1997|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]|isbn=978-1-61197-144-6|doi=10.1137/1.9781611971446}}</ref><ref>{{Cite book|last=Ciarlet|first=P.G.|title=Introduction to numerical linear algebra and optimization|last2=Miara|first2=B.|last3=Thomas|first3=J.M.|date=1989|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521327886|oclc=877155729}}</ref><ref>{{Cite book|last=Trefethen|first=Lloyd|url={{GBurl|4Mou5YpRD_kC|pg=PR7}}|title=Numerical Linear Algebra|last2=Bau III|first2=David|date=1997|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-361-9}}</ref> te [[Stohastička diferencijalna jednačina|stohastičke diferencijalne jednačine]] i [[Markovljev lanac|Markovljeve lance]] za simulacije živih ćelija u medicini i biologiji.

Prije modernih računara, [[Numerička metoda|numeričke metode]] su se često oslanjale na ručne [[Interpolacija|interpolacijske]] formule, koristeći podatke iz velikih štampanih tabela. Od sredine 20. stoljeća, računari su preuzeli izračunavanje potrebnih funkcija, ali mnoge od prethodno korištenih formula i dalje se koriste u softverskim algoritmima.<ref name="20c">{{Cite book|last=Brezinski|first=C.|url={{GBurl|dt3Z1yu2VxwC|pg=PP6}}|title=Numerical analysis: Historical developments in the 20th century|last2=Wuytack|first2=L.|date=2012|publisher=Elsevier|isbn=978-0-444-59858-5}}</ref>

Numerička tačka gledišta seže do najranijih matematičkih spisa. Ploča iz [[Babilonska kolekcija Yalea|Babilonske kolekcije Yalea]] ([[YBC 7289]]), daje [[Seksagezimalni brojevni sistem|seksagesimalnu]] numeričku aproksimaciju [[Kvadratni korijen iz 2|kvadratnog korijena od 2]], dužine [[Dijagonala|dijagonale]] [[Jedinični kvadrat|jediničnog kvadrata]].

Numerička analiza nastavlja ovu dugu tradiciju: umjesto davanja tačnih simboličkih odgovora prevedenih u cifre i primjenjivih samo na mjerenja u stvarnom svijetu, koriste se približna rješenja unutar određenih granica greške.

== Primjene ==
Opći cilj polja numeričke analize je dizajn i analiza tehnika za davanje približnih, ali tačnih rješenja za širok spektar teških problema, od kojih je mnoge nemoguće riješiti simbolički:

* Napredne numeričke metode su od suštinske važnosti da bi [[Numerička prognoza vremena|numeričko predviđanje vremena]] bilo izvodljivo.
* Izračunavanje putanje svemirskog broda zahtjeva tačno numeričko rješenje sistema običnih diferencijalnih jednačina.
* Automobilske kompanije mogu poboljšati sigurnost svojih vozila u slučaju sudara koristeći računarske simulacije sudara. Takve simulacije se u suštini sastoje od numeričkog rješavanja [[Parcijalna diferencijalna jednačina|parcijalnih diferencijalnih jednačina]] .
* [[Hedge fond]]ovi (privatni investicioni fondovi) koriste [[Finansijska matematika|kvantitativne finansijske]] alate iz numeričke analize kako bi pokušali izračunati vrijednost [[dionica]] i [[Derivat (finansije)|derivata]] preciznije od ostalih učesnika na tržištu.<ref>
Stephen Blyth.
[https://www.google.com/books/edition/An_Introduction_to_Quantitative_Finance/SXbcAAAAQBAJ "An Introduction to Quantitative Finance"].
2013.
page VII.
</ref>
* Aviokompanije koriste sofisticirane algoritme optimizacije za odlučivanje o cijenama karata, rasporedu aviona i posada, te potrebama za gorivom. Historijski gledano, takvi algoritmi su razvijeni u okviru polja [[Operaciona istraživanja|operacionih istraživanja]].
* Osiguravajuća društva koriste numeričke programe za [[aktuar]]ske analize.

== Historija ==
Oblast numeričke analize je nastala mnogo stoljeća prije izuma modernih računara. [[Linearna interpolacija]] je već bila u upotrebi prije više od 2000 godina. Mnogi veliki matematičari u prošlosti bili su zaokupljeni numeričkom analizom,<ref name="20c"/> što je vidljivo iz naziva važnih algoritama kao što su [[Newtonova metoda]], [[Lagrangeov polinom|Lagrangeov interpolacijski polinom]], [[Gaussova eliminacija]] ili [[Eulerova metoda]]. Porijeklo moderne numeričke analize često se povezuje s radom iz 1947. [[John von Neumann|Johna von Neumanna]] i [[Herman Goldstine|Hermana Goldstinea]],<ref name="watson" /><ref>
{{Cite book|url={{GBurl|pKZpDQAAQBAJ|pg=PR17}}|title=The Birth of Numerical Analysis|date=2010|publisher=World Scientific|isbn=978-981-283-625-0|editor-last=Bultheel|editor-first=Adhemar|editor-link=Adhemar Bultheel|volume=10|editor-last2=Cools|editor-first2=Ronald}}
</ref> dok drugi smatraju da moderna numerička analiza počinje s radom [[E. T. Whittaker]]a iz 1912.<ref name="watson">
{{Cite book|last=Watson|first=G.A.|title=The Birth of Numerical Analysis|date=2010|publisher=World Scientific|isbn=9789814469456|pages=161–177|chapter=The history and development of numerical analysis in Scotland: a personal perspective|chapter-url=https://core.ac.uk/download/pdf/206717434.pdf}}
</ref>
[[Datoteka:Handbook_of_Mathematical_Functions,_by_Abramowitz_and_Stegun,_cover.jpg|desno|mini|166x166piksel| Publikacija NIST-a]]
Da bi se olakšalo ručno izračunavanje, napravljene su velike knjige sa formulama i tabelama podataka kao što su interpolacione tačke i koeficijenti funkcija. Koristeći ove tabele, često izračunate do 16 decimala ili više za neke funkcije, mogle su se pronaći vrijednosti koje bi se unosile u date formule i time bi se postigli veoma dobre numeričke procjene nekih funkcija. Kanonski rad u ovoj oblasti je publikacija [[Nacionalni institut za standarde i tehnologiju|NIST-]]<nowiki/>a koju su uređivali [[Abramowitz i Stegun]]. To je knjiga s više od 1000 stranica s veoma velikim brojem često korištenih formula i funkcija i njihovih vrijednosti u mnogim tačkama. Vrijednosti funkcija više nisu od velike koristi kada je računar dostupan, ali veliki spisak formula i dalje može biti veoma od koristi.

[[Mehanički kalkulator]] je također razvijen kao alat za ručno računanje. Ovi kalkulatori su evoluirali u elektronske računare 1940-ih, a zatim je otkriveno da su ovi računari bili korisni i za administrativne svrhe. Ali pronalazak računara uticao je i na oblast numeričke analize,<ref name="20c"/> jer su se sada mogli raditi duži i komplikovaniji proračuni.

[[Leslie Fox nagrada za numeričku analizu|Leslie Fox nagradu za numeričku analizu]] inicirao je 1985. [[Institut za matematiku i njene primjene]].

== Ključni koncepti ==

=== Direktne i iterativne metode ===
Direktne metode izračunavaju rješenje problema u konačnom broju koraka. Ove metode bi dale precizan odgovor ako bi se izvodile u [[Aritmetika proizvoljne preciznosti|aritmetici beskonačne preciznosti]]. Primjeri uključuju [[Gaussova eliminacija|Gaussovu eliminaciju]], metodu [[QR razlaganje|QR faktorizacije]] za rješavanje [[Sistem linearnih jednačina|sistema linearnih jednačina]], te [[Simpleks metoda|simpleks metodu]] [[Linearno programiranje|linearnog programiranja]]. U praksi se koristi [[Aritmetika s pomičnim zarezom|konačna preciznost]] i rezultat je aproksimacija pravog rješenja (pod pretpostavkom [[Numerička stabilnost|stabilnosti]]).

Za razliku od direktnih metoda, od [[Iterativna metoda|iterativnih metoda]] se ne očekuje da će završiti u konačnom broju koraka, čak i ako je moguća beskonačna preciznost. Počevši od početnog nagađanja, iterativne metode formiraju uzastopne aproksimacije koje [[Granična vrijednost niza|konvergiraju]] tačnom rješenju samo u graničnoj vrijednosti. Test konvergencije, koji često uključuje [[Ostatak (numerička analiza)|ostatak]], određen je kako bi se odlučilo kada je pronađeno dovoljno precizno rješenje. Čak i korištenjem aritmetike beskonačne preciznosti ove metode ne bi došle do rješenja unutar konačnog broja koraka (u općem slučaju). Primjeri uključuju Newtonovu metodu, [[Metoda bisekcije|metodu bisekcije]] i [[Jacobijeva metoda|Jacobijevu iteraciju]]. U računskoj matričnoj algebri, iterativne metode su općenito potrebne za rješavanje velikih problema.<ref>{{Cite book|last=Saad|first=Y.|url={{GBurl|qtzmkzzqFmcC|pg=PR5}}|title=Iterative methods for sparse linear systems|date=2003|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-534-7}}</ref><ref>{{Cite book|last=Hageman|first=L.A.|url={{GBurl|se3YdgFgz4YC|pg=PR4}}|title=Applied iterative methods|last2=Young|first2=D.M.|date=2012|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-8284-0312-2|edition=2nd}}</ref><ref>{{Cite book|last=Traub|first=J.F.|url={{GBurl|se3YdgFgz4YC|pg=PR4}}|title=Iterative methods for the solution of equations|date=1982|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8284-0312-2|edition=2nd}}</ref><ref>{{Cite book|last=Greenbaum|first=A.|url={{GBurl|QpVpvE4gWZwC|pg=PP6}}|title=Iterative methods for solving linear systems|date=1997|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-396-1}}</ref>

Iterativne metode se češće koriste u numeričkoj analizi od direktnih metoda. Neke od metoda su u principu direktne, ali se obično koriste kao da nisu, npr. [[GMRES]] i [[metoda konjugovanog gradijenta]]. Za ove metode broj koraka potrebnih za dobivanje tačnog rješenja je toliko velik da se aproksimacija prihvaća na isti način kao i kod iterativnih metoda.

Kao primjer, razmotrite problem rješavanja

: 3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28

za nepoznatu veličinu ''x''.
{| style="margin:auto; text-align:right"
|+Direktna metoda
|
| 3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28.
|-
| ''Oduzmi 4''
| 3''x''<sup>3</sup> = 24.
|-
| ''Podijeli sa 3''
| ''x''<sup>3</sup> =&nbsp;8.
|-
| ''Izračnuaj kubni korijen''
| ''x'' =&nbsp;2.
|}
Za iterativnu metodu, primijenite [[Metoda bisekcije|metodu bisekcije]] na ''f''(''x'') = 3''x''<sup>3</sup> &#x2212; 24. Početne vrijednosti su ''a'' = 0, ''b'' = 3, ''f''(''a'') = &#x2212;24, ''f''(''b'') = 57.
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
|+Iterativna metoda
! ''a''
! ''b''
! sredina
! ''f''(sredina)
|-
| 0
| 3
| 1,5
| &#x2212;13,875
|-
| 1,5
| 3
| 2,25
| 10,17...
|-
| 1,5
| 2,25
| 1,875
| &#x2212;4,22...
|-
| 1,875
| 2,25
| 2,0625
| 2,32...
|}
Iz ove tabele se može zaključiti da se rješenje nalazi između 1,875 i 2,0625. Algoritam može dati bilo koji broj u tom rasponu s greškom manjom od 0,2.

=== Uslovljavanje ===
Loše uslovljen problem: Uzmite funkciju {{Math|1=''f''(''x'') = 1/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1)|size=100%}} . Imajte na umu da je ''f''(1,1) = 10 i ''f''(1,001) = 1000: promjena ''x'' manja od 0,1 pretvara se u promjenu ''f''(''x'') od skoro 1000. Vrednovanje ''f''(''x'') blizu ''x'' = 1 je loše uslovljen problem.

Dobro uslovljen problem: Nasuprot problemu iznad, vrednovanje iste funkcije {{Math|1=''f''(''x'') = 1/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1)|size=100%}} blizu ''x'' = 10 je dobro uslovljen problem. Na primjer, ''f''(10) = 1/9 ≈ 0,111 i ''f''(11) = 0,1: umjerena promjena u ''x'' dovodi do umjerene promjene u ''f''(''x'').

=== Diskretizacija ===
Nadalje, kontinuirani problemi ponekad moraju biti zamijenjeni diskretnim problemom za čije rješenje je poznato da je približno rješenju kontinuiranog problema; ovaj proces se naziva ''[[diskretizacija]]''. Na primjer, rješenje [[Diferencijalna jednačina|diferencijalne jednačine]] je [[Funkcija (matematika)|funkcija]]. Ova funkcija mora biti predstavljena konačnom količinom podataka, na primjer njenom vrijednošću u konačnom broju tačaka u svojoj domeni, iako je ova domena [[Kontinuum (teorija skupova)|kontinuum]].

== Generisanje i širenje grešaka ==
Proučavanje grešaka čini važan dio numeričke analize. Postoji nekoliko načina na koje se može unijeti greška u rješavanje problema.

=== Zaokruživanje ===
[[Greška zaokruživanja|Greške zaokruživanja]] nastaju jer je nemoguće tačno predstaviti sve [[Realan broj|realne brojeve]] na mašini s konačnom memorijom (svi praktični [[Računar|digitalni računari]]).

=== Greška pri skraćivanju i diskretizaciji ===
[[Greška skraćivanja|Greške skraćivanja]] nastaju kada se iterativna metoda prekine ili se matematički postupak aproksimira i približno rješenje se razlikuje od tačnog rješenja. Slično tome, diskretizacija izaziva [[Greška diskretizacije|grešku diskretizacije]] jer se rješenje diskretnog problema ne poklapa s rješenjem kontinuiranog problema. U primjeru iznad kod izračunavanja rješenja jednačine <math>3x^3+4=28</math>, nakon deset ponavljanja izračunati korijen je otprilike 1,99. Stoga je greška skraćivanja oko 0,01.

Jednom kada se greška generiše, ona se širi kroz proračun. Na primjer, operacija + na računaru je neprecizna. Izračun tipa <math>a+b+c+d+e</math> je još neprecizniji.

Greška skraćivanja se stvara kada se matematički postupak aproksimira. Da bi se funkcija precizno integrisala, mora se pronaći beskonačan zbir regiona, ali numerički se može pronaći samo konačan zbir regiona, što znači samo aproksimacija tačnog rešenja. Slično tome, da bi se diferencirala funkcija, diferencijalni element mora biti približan nuli, ali numerički se za vrijednost diferencijalnog elementa može samo odabrati vrijednost različita od nule.

=== Numerička stabilnost i dobro postavljeni problemi ===
Algoritam se naziva ''[[Numerička stabilnost|numerički stabilnim]]'' ako greška, bez obzira na njen uzrok, ne postaje mnogo veća tokom izračunavanja.<ref name="stab">{{Harvnb|Higham|2002}}</ref> To se dešava ako je problem ''[[Uslovni broj|dobro uvjetovan]]'', što znači da se rješenje mijenja samo za malu vrijednost ako se podaci problema mijenjaju za malu vrijednost.<ref name="stab" /> Naprotiv, ako je problem "loše uslovljen", onda će svaka mala greška u podacima prerasti u veliku grešku.<ref name="stab" /> I originalni problem i algoritam koji se koristi za rješavanje tog problema mogu biti dobro uvjetovani ili loše uvjetovani, a moguća je i svaka kombinacija tih opcija. Dakle, algoritam koji rješava dobro uvjetovani problem može biti ili numerički stabilan ili numerički nestabilan. Umjetnost numeričke analize je pronaći stabilan algoritam za rješavanje dobro postavljenog matematičkog problema.

== Oblasti proučavanja ==
Područje numeričke analize uključuje mnoge poddiscipline. Neke od glavnih su:

=== Izračunavanje vrijednosti funkcij ===
{| class="wikitable" style="float: right; width: 250px; clear: right; margin-left: 1em;"
 |
Interpolacija: Imajući u vidu da temperatura varira od 20 stepeni Celzijusa u 1:00 do 14 stepeni u 3:00, linearna interpolacija ovih podataka bi zaključila da je temperatura u 14:00 bila 17 stepeni i 18,5 stepeni u 13:30.

Ekstrapolacija: Ako je [[bruto domaći proizvod]] jedne zemlje rastao u prosjeku 5% godišnje i iznosio je 100 milijardi prošle godine, moglo bi se ekstrapolirati da će ove godine iznositi 105 milijardi.

[[Datoteka:Linear-regression.svg|desno|100x100piksel|A line through 20 points]]

Regresija: U linearnoj regresiji, imamo n tačaka za koje se izračunava linija koja prolazi što je moguće bliže tim n tačkama.

[[Datoteka:LemonadeJuly2006.JPG|desno|107x107piksel|How much for a glass of lemonade?]]

Optimizacija: Pretpostavimo da se limunada prodaje na štandu za 1,00 € po čaši, te da se dnevno može prodati 197 čaša limunade i da će se za svako povećanje od 0,01 € prodati jedna čaša manje dnevno. Kada bi se moglo naplatiti 1,485 €, profit bi bio maksimiziran, ali zbog ograničenja da se iznos zaokružuje na cijeli cent, naplata od 1,48 € ili 1,49 € po čaši donijet će maksimalan prihod od 220,52 € po danu.

[[Datoteka:Wind-particle.png|desno|Wind direction in blue, true trajectory in black, Euler method in red]]

Diferencijalna jednačina: Ako je 100 ventilatora postavljeno da pušu s jednog kraja prostorije na drugi, a onda se pero ispusti u vjetar, šta će se dogoditi? Pero će pratiti vazdušne struje, koje mogu biti veoma složene. Jedna aproksimacija je izmjeriti brzinu kojom zrak puše u blizini pera svake sekunde i pustiti simulirano pero kao da se kreće pravolinijski istom brzinom u trajanju od jedne sekunde, prije nego što se ponovo izmjeri brzina vjetra. Ovo se zove [[Eulerova metoda]] za rješavanje obične diferencijalne jednačine.
|}
Jedan od najjednostavnijih problema je vrednovanje funkcije u datoj tački. Najjednostavniji pristup jednostavnog ubacivanja broja u formulu ponekad i nije baš efikasan. Za polinome, bolji pristup je korištenje [[Hornerova šema|Hornerove šeme]], jer smanjuje potreban broj množenja i sabiranja. Općenito, važno je procijeniti i kontrolisati [[Greška zaokruživanja|greške zaokruživanja]] koje proizlaze iz upotrebe [[Aritmetika s pomičnim zarezom|aritmetike s pomičnim zarezom]].

=== Interpolacija, ekstrapolacija i regresija ===
[[Interpolacija]] rješava sljedeći problem: s obzirom na vrijednost neke nepoznate funkcije u određenom broju tačaka, koju vrijednost ima ta funkcija u nekoj drugoj tački između datih tačaka?

[[Linearna ekstrapolacija|Ekstrapolacija]] je vrlo slična interpolaciji, samo što se sada mora pronaći vrijednost nepoznate funkcije u tački koja je izvan datih tačaka.<ref>{{Cite book|last=Brezinski|first=C.|url={{GBurl|WGviBQAAQBAJ|pg=PR7}}|title=Extrapolation methods: theory and practice|last2=Zaglia|first2=M.R.|date=2013|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-050622-7}}</ref>

[[Regresiona analiza|Regresija]] je također slična, ali uzima u obzir da su podaci neprecizni. Uzimajući u obzir određene tačke i mjerenje vrijednosti neke funkcije u tim tačkama (s greškom), nepoznata funkcija može biti pronađena. Metoda [[Numeričke metode za linearne najmanje kvadrate|najmanjih kvadrata]] je jedan od načina da se to postigne.

=== Rješavanje jednačina i sistema jednačina ===
Jedan od fundamentalnih problema je izračunavanje rješenja određene jednačine. Obično se razlikuju dva slučaja, ovisno o tome da li je jednačina linearna ili ne. Na primjer, jednačina <math>2x+5=3</math> je linearna, dok <math>2x^2+5=3</math> nije.

Mnogo truda je uloženo u razvoj metoda za rješavanje [[Sistem linearnih jednačina|sistema linearnih jednačina]] . Standardne direktne metode, tj. metode koje koriste neku vrstu [[Matrično razlaganje|matričnog razlaganja]] su [[Gaussova eliminacija]], [[LU razlaganje]], [[Choleskyjevo razlaganje]] za [[Simetrična matrica|simetričnu]] (ili [[Hermiteova matrica|Hermiteovu]]) i [[Pozitivno definitna matrica|pozitivno definitnu matricu]] i [[QR razlaganje]] za nekvadratne matrice. Iterativne metode kao što su [[Jacobijeva metoda]], [[Gauss–Seidelova metoda]], [[sukcesivna prekomjerna relaksacija]] i [[metoda konjugiranog gradijenta]]<ref>{{Cite journal|last=Hestenes|first=Magnus R.|last2=Stiefel|first2=Eduard|date=decembar 1952|title=Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems|url=https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/049/jresv49n6p409_A1b.pdf|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards|volume=49|issue=6|pages=409–|doi=10.6028/jres.049.044}}</ref> obično se preferiraju za velike sisteme. Opće iterativne metode mogu se razviti korištenjem [[Cijepanje matrice|cijepanja matrice]].

[[Algoritam za pronalaženje korijena|Algoritmi za pronalaženje korijena]] koriste se za rješavanje nelinearnih jednačina (tako su nazvani jer je korijen funkcije argument za koji funkcija daje nulu). Ako je funkcija [[Izvod|diferencibilna]] i izvod je poznata, onda je Newtonova metoda popularan izbor.<ref>{{Cite book|last=Ezquerro Fernández|first=J.A.|url={{GBurl|A3orDwAAQBAJ|pg=PR11}}|title=Newton's method: An updated approach of Kantorovich's theory|last2=Hernández Verón|first2=M.Á.|date=2017|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-55976-6}}</ref><ref>{{Cite book|last=Deuflhard|first=Peter|url={{GBurl|l20xK__HG_kC|pg=PP1}}|title=Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms|date=2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-21099-3|edition=2nd|series=Computational Mathematics|volume=35}}</ref> [[Linearizacija]] je još jedna tehnika za rješavanje nelinearnih jednačina.

=== Rješavanje problema svojstvenih ili singularnih vrijednosti ===
Nekoliko važnih problema može se izraziti u terminima [[dekompozicija svojstvene vrijednosti]] ili [[dekompozicija singularne vrijednosti]]. Na primjer, algoritam [[Kompresija slike|spektralne kompresije slike]]<ref>{{Cite web|url=http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall97/Tammie/tammie.pdf|title=The Singular Value Decomposition and Its Applications in Image Compression|last=Ogden|first=C.J.|last2=Huff|first2=T.|date=1997|website=Math 45|publisher=College of the Redwoods|archive-url=https://web.archive.org/web/20060925193348/http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall97/Tammie/tammie.pdf|archive-date=25. 9. 2006}}</ref> temelji se na razlaganju singularnih vrijednosti. Odgovarajući alat u statistici naziva se [[analiza glavnih komponenti]].

=== Optimizacija ===
 
Problemi optimizacije traže tačku u kojoj je data funkcija maksimizirana (ili minimizirana). Često tačka mora da zadovolji i neka [[Ograničenje (matematika)|ograničenja]].

Polje optimizacije je podijeljeno na nekoliko podoblasti, ovisno o obliku [[Funkcija gubitka|ciljne funkcije]] i ograničenjima. Na primjer, [[linearno programiranje]] se bavi slučajem da su i ciljna funkcija i ograničenja linearni. Poznata metoda u linearnom programiranju je [[Simpleks algoritam|simpleks metoda]].

Metoda [[Lagrangeov množitelj|Lagrangeovih množitelja]] može se koristiti za redukciju problema optimizacije s ograničenjima na neograničene optimizacijske probleme.

=== Vrednovanje integrala ===
{{glavni|Numerička integracija}}
Numerička integracija, u nekim slučajevima poznata i kao numerička [[Kvadratura (geometrija)|kvadratura]], traži vrijednost definitnog [[integral]]a.<ref>{{Cite book|last=Davis|first=P.J.|url={{GBurl|gGCKdqka0HAC|pg=PR5}}|title=Methods of numerical integration|last2=Rabinowitz|first2=P.|date=2007|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-45339-2}}</ref> Popularne metode koriste jednu od [[Newton-Cotesove formule|Newton-Cotesovih formula]] (kao što je pravilo srednje tačke ili [[Simpsonovo pravilo]]) ili [[Gaussova kvadratura|Gaussovu kvadraturu]]. Ove metode se oslanjaju na strategiju "zavadi pa vladaj", pri čemu se integral relativno velikog skupa razlaže na integrale manjih skupova. U višim dimenzijama, gdje ove metode postaju pretjerano skupe u smislu računskog napora, mogu se koristiti [[Monte Carlo simulacija|Monte Carlo]] ili [[Kvazi-Monte Karlo metoda|kvazi-Monte Carlo metode]] (vidi [[Monte Carlo integracija]]<ref>{{Cite book|last=Geweke|first=John|title=Handbook of Computational Economics|date=1996|publisher=Elsevier|isbn=9780444898579|volume=1|pages=731–800|chapter=15. Monte carlo simulation and numerical integration|doi=10.1016/S1574-0021(96)01017-9|chapter-url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1574002196010179)}}</ref>) ili u umjereno velikim dimenzijama, metod [[Prorijeđena mreža|prorijeđenih mreža]].

=== Diferencijalne jednačine ===
 
Numerička analiza se također bavi (aproksimativnim) izračunavanjem rješenja [[Diferencijalna jednačina|diferencijalnih jednačina]], kako [[Obične diferencijalne jednačine|običnih diferencijalnih jednadžbi,]] tako i [[Parcijalne diferencijalne jednačine|parcijalnih diferencijalnih jednadžbi]].<ref>{{Cite book|last=Iserles|first=A.|url={{GBurl|M0tkw4oUucoC|pg=PR5}}|title=A first course in the numerical analysis of differential equations|date=2009|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-73490-5|edition=2nd}}</ref>

Parcijalne diferencijalne jednačine rješavaju se prvo diskretizacijom jednačine, dovodeći je u konačnodimenzionalni podprostor.<ref>{{Cite book|last=Ames|first=W.F.|url={{GBurl|KmjiBQAAQBAJ|pg=PP7}}|title=Numerical methods for partial differential equations|date=2014|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057130-0|edition=3rd}}</ref> Ovo se može učiniti [[Metoda konačnih elemenata|metodom konačnih elemenata]],<ref>{{Cite book|last=Johnson|first=C.|url={{GBurl|0IFCAwAAQBAJ|p=2}}|title=Numerical solution of partial differential equations by the finite element method|date=2012|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-46900-3}}</ref><ref>{{Cite book|last=Brenner|first=S.|url={{GBurl|ServBwAAQBAJ|pg=PR11}}|title=The mathematical theory of finite element methods|last2=Scott|first2=R.|date=2013|publisher=Springer|isbn=978-1-4757-3658-8|edition=2nd}}</ref><ref>{{Cite book|last=Strang|first=G.|url=https://archive.org/details/analysisoffinite0000stra|title=An analysis of the finite element method|last2=Fix|first2=G.J.|date=2018|publisher=Wellesley-Cambridge Press|isbn=9780980232783|edition=2nd|oclc=1145780513|orig-year=1973}}</ref> metodom [[Konačna razlika|konačnih razlika]]<ref>{{Cite book|last=Strikwerda|first=J.C.|url={{GBurl|mbdt5XT25AsC|pg=PP5}}|title=Finite difference schemes and partial differential equations|date=2004|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-793-8|edition=2nd}}</ref> ili (posebno u inženjerstvu) [[Metoda konačnih volumena|metodom konačnih volumena]].<ref>{{Cite book|last=LeVeque|first=Randall|url={{GBurl|mfAfAwAAQBAJ|pg=PT6}}|title=Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-43418-8}}</ref> Teorijsko obrazloženje ovih metoda često uključuje teoreme iz [[Funkcionalna analiza|funkcionalne analize]]. Ovo svodi problem na rješenje algebarske jednačine.

== Softver ==
Od kasnog dvadesetog stoljeća, većina algoritama je implementirana u različitim programskim jezicima. [[Netlib]] spremište sadrži različite kolekcije softverskih rutina za numeričke probleme, uglavnom u [[FORTRAN|Fortranu]] i [[C (programski jezik)|C-u.]] Komercijalni proizvodi koji implementiraju mnogo različitih numeričkih algoritama uključuju [[IMSL]] i [[Grupa numeričkih algoritama|NAG]] biblioteke; alternativa u [[Slobodni softver|slobodnom softveru]] je [[GNU naučna biblioteka]].

Tokom godina [[Kraljevsko statističko društvo]] objavilo je brojne algoritme u svojoj ''[[Časopis Kraljevskog statističkog društva, serija C (primijenjena statistika)|Primijenjenoj statistici]]'' ({{Jez-en|Applied Statistics}};kod za ove "AS" funkcije se može pronaći [https://jblevins.org/mirror/amiller/#apstat ovdje]); [[Udruženje za računarske mašine|ACM]] radi slično u svojim ''[[Transakcije na matematičkom softveru|Transakcijama na matematičkom softveru]]'' ({{Jez-en|Transactions on Mathematical Software}}; „TOMS“ kod se može pronaći [https://jblevins.org/mirror/amiller/#toms ovdje]). [[Centar za mornaričko površinsko ratovanje]] je nekoliko puta objavio svoju [https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/ADA476840.pdf ''Biblioteku matematičkih potprograma''] (kod [https://jblevins.org/mirror/amiller/#nswc ovdje]).

Postoji nekoliko popularnih aplikacija za numeričko računanje kao što su [[MATLAB]],<ref>{{Cite book|last=Quarteroni|first=A.|url={{GBurl|_0m9BAAAQBAJ|pg=PR11}}|title=Scientific computing with MATLAB and Octave|last2=Saleri|first2=F.|last3=Gervasio|first3=P.|date=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-642-45367-0|edition=4th}}</ref><ref name="gh">{{Cite book|url={{GBurl|di2qCAAAQBAJ|pg=PR14}}|title=Solving problems in scientific computing using Maple and Matlab®|date=2011|publisher=Springer|isbn=978-3-642-18873-2|editor-last=Gander|editor-first=W.|editor-last2=Hrebicek|editor-first2=J.}}</ref><ref name="bf">{{Cite book|last=Barnes|first=B.|title=Mathematical modelling with case studies: a differential equations approach using Maple and MATLAB|last2=Fulford|first2=G.R.|date=2011|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-8350-7|edition=2nd|oclc=1058138488}}</ref> [[TK Solver]], [[S-PLUS]] i [[IDL (programski jezik)|IDL]]<ref>{{Cite book|last=Gumley|first=L.E.|url={{GBurl|1d-tNpm_x4gC|pg=PR9}}|title=Practical IDL programming|date=2001|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-051444-4}}</ref>, te besplatne i open-source alternative kao što su [[FreeMat]], [[Scilab]],<ref>{{Cite book|last=Bunks|first=C.|title=Engineering and scientific computing with Scilab|last2=Chancelier|first2=J.P.|last3=Delebecque|first3=F.|last4=Goursat|first4=M.|last5=Nikoukhah|first5=R.|last6=Steer|first6=S.|date=2012|publisher=Springer|isbn=978-1-4612-7204-5}}</ref><ref>{{Cite book|last=Thanki|first=R.M.|url={{GBurl|VydaDwAAQBAJ|pg=PR9}}|title=Digital image processing using SCILAB|last2=Kothari|first2=A.M.|date=2019|publisher=Springer|isbn=978-3-319-89533-8}}</ref> [[GNU Octave]] (slično Matlabu) i [[IT++]] (C++ biblioteka). Postoje i programski jezici kao što su [[R (programski jezik)|R]]<ref>{{Cite journal|last=Ihaka|first=R.|last2=Gentleman|first2=R.|date=1996|title=R: a language for data analysis and graphics|url=https://www.stat.auckland.ac.nz/~ihaka/downloads/R-paper.pdf|journal=Journal of Computational and Graphical Statistics|volume=5|issue=3|pages=299–314|doi=10.1080/10618600.1996.10474713}}</ref> (slično S-PLUS), [[Julia (programski jezik)|Julia]],<ref>{{Cite journal|last=Bezanson|first=Jeff|last2=Edelman|first2=Alan|last3=Karpinski|first3=Stefan|last4=Shah|first4=Viral B.|date=1. 1. 2017|title=Julia: A Fresh Approach to Numerical Computing|url=https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/141000671|journal=SIAM Review|volume=59|issue=1|pages=65–98|doi=10.1137/141000671|issn=0036-1445}}</ref> i [[Python (programski jezik)|Python]] s bibliotekama kao što su [[NumPy]], [[SciPy]]<ref>Jones, E., Oliphant, T., & Peterson, P. (2001). SciPy: Open source scientific tools for Python.</ref><ref>{{Cite book|last=Bressert|first=E.|title=SciPy and NumPy: an overview for developers|date=2012|publisher=O'Reilly|isbn=9781306810395}}</ref><ref>{{Cite book|last=Blanco-Silva|first=F.J.|title=Learning SciPy for numerical and scientific computing|date=2013|publisher=Packt|isbn=9781782161639}}</ref> i [[SymPy]]. Performanse se uveliko razlikuju: dok su vektorske i matrične operacije obično brze, skalarne petlje mogu varirati u brzini više od jednog reda veličine.

Mnogi [[Sistem računarske algebre|sistemi računarske algebre,]] kao što je [[Wolfram Mathematica|Mathematica,]] također imaju korist od dostupnosti [[Aritmetika proizvoljne preciznosti|aritmetike proizvoljne preciznosti]] koja može pružiti tačnije rezultate.<ref>{{Cite book|last=Maeder|first=R.E.|url=https://archive.org/details/programminginmat0000maed_l2m6|title=Programming in mathematica|date=1997|publisher=Addison-Wesley|isbn=9780201854497|edition=3rd|oclc=1311056676}}</ref><ref>{{Cite book|last=Wolfram|first=Stephen|url={{GBurl|Xny77v_QPkEC|pg=PR19}}|title=The MATHEMATICA® book, version 4|date=1999|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=9781579550042}}</ref><ref>{{Cite book|last=Shaw|first=W.T.|url=http://www.gbv.de/dms/bowker/toc/9780201542172.pdf|title=Applied Mathematica: getting started, getting it done|last2=Tigg|first2=J.|date=1993|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-54217-2|oclc=28149048}}</ref><ref>{{Cite book|last=Marasco|first=A.|url={{GBurl|iFRqemnmMqUC|pg=PR7}}|title=Scientific Computing with Mathematica: Mathematical Problems for Ordinary Differential Equations|last2=Romano|first2=A.|date=2001|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-4205-1}}</ref>

Također bilo koji [[softver]] [[Proračunska tabela|za proračunske tablice]] može se koristiti za rješavanje jednostavnih problema koji se odnose na numeričku analizu. [[Microsoft Excel|Excel]], na primjer, ima stotine [[Microsoft Excel|dostupnih funkcija]], uključujući i one za matrice, koje se mogu koristiti zajedno sa njegovim [[Microsoft Excel|integrisanim "rješavačem"]].

== Reference ==
{{Refspisak}}

=== Izvori ===
{{refbegin}}
* {{cite book |author1 = Golub, Gene H. |author-link = Gene H. Golub |author2 = Charles F. Van Loan |author2-link = Charles F. Van Loan |title=Matrix Computations |edition=3rd |publisher=Johns Hopkins University Press |isbn=0-8018-5413-X |year = 1986 }}
* {{cite book |author1 = Ralston Anthony |author2 = Rabinowitz Philips | title=A First Course in Numerical Analysis | edition=2nd |publisher=Dover publications | isbn=978-0486414546 |year=2001 }}
*{{cite book |first=Nicholas J. |last=Higham |author-link=Nicholas Higham |title = Accuracy and Stability of Numerical Algorithms |url=https://archive.org/details/accuracystabilit0000high |url-access=registration |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |isbn=0-89871-355-2 |orig-year=1996 |year=2002}}
* {{cite book |last=Hildebrand |first=F. B. |author-link=Francis B. Hildebrand | title=Introduction to Numerical Analysis |edition=2nd |year=1974 |publisher=McGraw-Hill |isbn= 0-07-028761-9 }}
* {{cite book |last=Leader |first=Jeffery J. |author-link=Jeffery J. Leader |title=Numerical Analysis and Scientific Computation |url=https://archive.org/details/numericalanalysi0000lead |year=2004 |publisher=Addison Wesley |isbn= 0-201-73499-0 }}
* {{cite book|last= Wilkinson |first =J.H. |author-link=James H. Wilkinson |title=The Algebraic Eigenvalue Problem |url= https://archive.org/details/algebraiceigenva0000wilk |url-access= registration |publisher = Clarendon Press |orig-year=1965 |year=1988 |isbn=978-0-19-853418-1 }}
* {{cite conference |last = Kahan |first = W. |author-link= William Kahan |title = A survey of error-analysis  |journal = Info. Processing 71 |conference = Proc. IFIP Congress 71 in Ljubljana |volume = 2 |pages = 1214–39 |publisher = North-Holland |year = 1972 |isbn=978-0-7204-2063-0 |oclc=25116949 }} (examples of the importance of accurate arithmetic).
*{{cite book |author-link=Lloyd N. Trefethen |last=Trefethen |first=Lloyd N. |chapter=IV.21 Numerical analysis |chapter-url=http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf |editor1-first=I. |editor1-last=Leader  |editor2-first=T. |editor2-last=Gowers |editor3-first=J. |editor3-last=Barrow-Green |title=Princeton Companion of Mathematics |publisher=Princeton University Press |date=2008 |isbn=978-0-691-11880-2  |pages=604–614 |url={{GBurl|GLumDwAAQBAJ|pg=PR5}}}}
{{refend}}

==Vanjski linkovi==
{{commons|Numerical analysis}}

===Časopisi===
*''[[Numerische Mathematik]]'', volumes 1–..., [https://www.springer.com/mathematics/numerical+and+computational+mathematics/journal/211 Springer], 1959–
**[http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN362160546 volumes 1–66, 1959–1994] (searchable; pages are images). {{in lang|en|de}}
*''[[Journal on Numerical Analysis]]'' [https://epubs.siam.org/journal/sjnaam (SINUM)], volumes 1–..., SIAM, 1964–

===Online tekstovi===
*{{springer|title=Numerical analysis|id=p/n120130}}
*[https://web.archive.org/web/20150905141405/http://www.nr.com/oldverswitcher.html ''Numerical Recipes''], William H. Press (free, downloadable previous editions)
*[https://web.archive.org/web/20120225082123/http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat7/stepsa.htm ''First Steps in Numerical Analysis''] ([[Internet Archive|archived]]), R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
*[https://web.archive.org/web/20170801213333/http://www.phy.ornl.gov/csep/CSEP/TEXTOC.html ''CSEP'' (Computational Science Education Project)], [[U.S. Department of Energy]] ([[Internet Archive|archived 2017-08-01]]) 
*[https://dlmf.nist.gov/3 Numerical Methods], ch 3. in the ''[[Digital Library of Mathematical Functions]]''
*[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_875.htm Numerical Interpolation, Differentiation and Integration], ch 25. in the ''Handbook of Mathematical Functions'' ([[Abramowitz and Stegun]])

===Materijali s online kurseva===
*[http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd103/lectures/nummeth98/index.htm#L_1_Title_Page Numerical Methods] ({{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090728181209/http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd103/lectures/nummeth98/index.htm#L_1_Title_Page |date=28. 7. 2009 }}), Stuart Dalziel [[University of Cambridge]]
*[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DeturckWilf.pdf Lectures on Numerical Analysis], Dennis Deturck and Herbert S. Wilf [[University of Pennsylvania]]
*[http://johndfenton.com/Lectures/Numerical-Methods/Numerical-Methods.pdf Numerical methods], John D. Fenton [[University of Karlsruhe]]
*[http://www-teaching.physics.ox.ac.uk/computing/NumericalMethods/NMfP.pdf Numerical Methods for Physicists], Anthony O’Hare [[Oxford University]]
*[https://web.archive.org/web/20120225082123/http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat7/stepsa.htm Lectures in Numerical Analysis] ([[Internet Archive|archived]]), R. Radok [[Mahidol University]]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-993j-introduction-to-numerical-analysis-for-engineering-13-002j-spring-2005/ Introduction to Numerical Analysis for Engineering], Henrik Schmidt [[Massachusetts Institute of Technology]]
*[http://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/ ''Numerical Analysis for Engineering''], D. W. Harder [[University of Waterloo]]
*[https://www.math.umd.edu/~diom/courses/AMSC466/Levy-notes.pdf Introduction to Numerical Analysis], Doron Levy [[University of Maryland]]
*[https://web.archive.org/web/20070310212643/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalUndergradMod.html Numerical Analysis - Numerical Methods] (archived), John H. Mathews [[California State University Fullerton]]

{{Oblasti matematike}}
{{Grane fizike}}
{{Normativna kontrola}}

{{DEFAULTSORT:Numerička analiza}}
[[Kategorija:Računske nauke]]
[[Kategorija:Matematička fizika]]
[[Kategorija:Numerička analiza]]