Izvorni kôd stranice Niz

{{Nedostaju izvori}}
{{Preuređivanje}}
{{Drugo_značenje|Niz (čvor)}}
Funkciju <math>f:\mathbf{N}\longrightarrow R</math> kojoj je [[domen (matematika)|domen]] skup prirodnih brojeva <math>\mathbf{N}</math>, a [[kodomen]]a  ma koji dati [[skup]] <math>R</math> nazivamo brojni '''niz''' (slog) i označavamo
sa <math>a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots</math>, odnosno sa <math>a(1),a(2),\ldots,a(n),\ldots</math>.

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake <math>\{a_n\}_{n\in\mathbf{N}}</math> odnosno <math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</math>.

Element <math>a(n)</math> (tj. <math>a_n</math>) nazivamo ''n-ti'' ili ''opći član'' niza, a element <math>a_1</math> ''prvi član'' niza.

Ako je domen funkcije <math>f</math> konačan podskup skupa <math>\mathbf{N}</math>, onda za niz <math>\{a_n\}=a_1,a_2,\ldots,a_n</math> kažemo da je konačan, i označavamo ga sa <math>\{a_k\}_{k=1}^{n}</math>.

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.

;Primjer:

* Funkcija <math>a:\mathbf{N}\longrightarrow R</math> data sa <math>a_n=a(n)=3^n</math> za <math>\forall(n\in\mathbf{N})</math> određuje niz

<center><math>3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \ldots</math></center>

* Niz <math>\{a_n\}</math> zadan formulom <math>a_n=\frac{1}{2}[5+(-1)^n]</math> za <math>\forall(n\in\mathbf{N})</math>, tj. <math>a_n = \left\{\begin{array}{cc} 3 &\mbox{ako je n paran} \\ 2&\mbox{ako je n neparan} \end{array}\right.</math> glasi <math>2,3,2,3,2,3,\ldots</math>

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov [[rang]] <math>R</math> konačan skup <math>\{2,3\}</math>.
== Važniji nizovi brojeva ==

=== Fibonaccijev niz ===
{{glavni|Fibonaccijev broj}}
Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki
član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a<sub>(n + 2)</sub> =a<sub>n</sub> + a<sub>(n +1)</sub>

Primjer

2, 3,5, 8,...
1, 1, 2, 3, ....

=== Aritmetički niz ===

[[Aritmetička progresija|Aritmetički niz]] je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a<sub>(n +1)</sub>  - a<sub>n </sub> = a<sub>(n +2)</sub> -a<sub>(n +1)</sub>

Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

=== Geometrijski niz ===

[[Geometrijski niz]] je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a<sub>(n +1)</sub>]<sup>2</sup> =a<sub>n</sub>a<sub>(n +2)</sub>

== Tačka gomilanja niza ==

Neka je <math>\epsilon</math> neki pozitivan broj i <math>x_0\in R</math>. Pod <math>\epsilon</math> - ''okolinom'' tačke <math>x_0</math>, u oznaci <math>O_{\epsilon}(x_0)</math> ili <math>O(x_0)</math> podrazumijevamo skup

<center><math>O_{\epsilon}(x_0)=\{x\in R:|x-x_0|<\epsilon\}</math></center>

<math>\epsilon</math>- okolina tačke <math>x_0</math> je otvoreni interval <math>(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)</math> dužine <math>2\epsilon</math>.

Broj <math>\alpha\in R</math> nazivamo tačkom gomilanja niza <math>\{a_n\}</math> ako svakoj <math>\epsilon</math>- okolini tačke <math>\alpha</math> pripada beskonačno mnogo članova niza <math>\{a_n\}</math>.

Dati niz <math>\{a_n\}</math> može imati više tačaka gomilanja

== Ograničeni nizovi ==

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz <math>\{a_n\}</math> kažemo da je '''ograničen odozgo''' ako postoji konstanta ''r'' takva da je <math>a_n\leq r</math> za sve n. On je '''ograničen odozdo''' ako postoji konstanta ''s'' takva da je <math>a_n\geq s</math> za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante ''r'' i ''s'' takve da je <math>s\leq a_n\leq r</math> za sve n, naziva se '''ograničenim''' nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

;Primjer
Niz <math>\{(-1)^{n-1}(2+\frac{3}{n})\}</math> je ograničen. Za svako n je <math>-\frac{7}{2}\leq a_n\leq 5</math>

== Monotoni nizovi ==
Niz brojeva kod kojeg nijedan član nije manji od člana koji mu direktno predhodi, odnosno niz za čija svaka dva susjedna člana vrijedi:

<math>a_{n} \leq a_{n+1}</math>

nazivamo '''monotono uzlazni (rastući)'''. Naprimjer, niz ''1, 2, 3, ...'' je monotono uzlazni, ali, također, i niz ''2, 2, 2, ...''

Za niz sa osobinom:

<math>a_{n} \geq a_{n+1}</math>

kažemo da je '''monotono silazni (opadajući)''' (npr. niz ''5, 4, 4, 3, ...'').

Specijalno, za nizove sa karakteristikama:

<math>a_{n} < a_{n+1}</math><br/>
<math>a_{n} > a_{n+1}</math>

kažemo da su '''strogo monotoni''', odnosno strogo uzlazni (rastući) ili strogo silazni (opadajući).

== Nizovi funkcija ==

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija <math>f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots</math> označavamo kraće sa <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}</math> odnosno <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math>

== Konvergencija nizova ==

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova [[Matematička analiza|matematičke analize]].

Ako je <math>\{a_n\}</math> dati niz i <math>\alpha</math> [[realan broj]], onda za broj <math>\alpha</math> kažemo da je granična vrijednost niza <math>\{a_n\}</math> ako za svaki <math>\epsilon > 0</math> postoji prirodan broj <math>n_0=n_0(\epsilon)</math> (koji može da ovisi od <math>\epsilon</math>) takav da za sve prirodne brojeve <math>n>n_0</math> vrijedi [[nejednakost]]:

<center><math>|a_n-\alpha|<\epsilon</math></center>

U tom slučaju pišemo <math>\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n=\alpha</math> odnosno <math>a_n\longrightarrow\alpha</math> kada <math>n\longrightarrow\infty</math> i čitamo: <math>\alpha</math> je granična vrijednost niza <math>\{a_n\}</math> kada n teži u beskonačnost odnosno <math>a_n</math> konvergira broju <math>\alpha</math>.

Ako je <math>\alpha = 0</math>, onda niz <math>\{a_n\}</math> nazivamo ''nula'' niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je '''konvergentan niz'''. Niz koji nije konvergentan nazivamo '''divergentan niz'''.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj <math>\alpha</math> naziva se granična vrijednost niza <math>\{a_n\}</math> ako se u svakoj njegovoj <math>\epsilon</math>- okolini nalaze gotovo svi članovi niza <math>\{a_n\}</math>, sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

;Primjer
Niz <math>\{\frac{2n+1}{n}\}</math> konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

* Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
* Konvergentan niz je ograničen

Za niz <math>\{a_n\}</math> kažemo da divergira u <math>+\infty</math> ako za svaki realan broj <math>A > 0</math> postoji prirodan broj <math>n_0(A)</math> takav da za sve <math>n>n_0(A)</math> vrijedi: <math>a_n > A</math>, i u tom slučaju pišemo <math>\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = +\infty</math> odnosno da <math>a_n\longrightarrow +\infty</math>.

Za niz <math>\{a_n\}</math> kažemo da divergira u <math>-\infty</math> ako za svaki realan broj <math>B < 0</math> postoji prirodan broj <math>n_0(B)</math> takav da za sve <math>n>n_0(B)</math> vrijedi: <math>a_n < B</math>, i u tom slučaju pišemo <math>\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = -\infty</math> odnosno da <math>a_n\longrightarrow -\infty</math>.

== Konvergencija funkcionalnih nizova ==

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

=== Konvergencija po tačkama ===

Neka je <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> neki niz funkcija definisanih na nekom skupu <math>D</math>. Ako odaberemo neko proizvoljno <math>x_0\in D</math>, onda stavljajući <math>x=x_0</math> dobijamo brojni niz <math>\{f_n(x_0)\}</math>.

Ako ovaj niz (kao brojni niz) '''konvergira''', onda kažemo da niz <math>\{f_n(x)\}</math> '''konvergira u tački''' <math>x_0</math>.

Ako niz <math>\{f_n(x)\}</math> konvergira u svakoj tački <math>x\in D</math>, onda kažemo da niz konvergira na <math>D</math>.

Ovaj vid konvergencije niza <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> često nazivamo '''konvergencija po tačkama''', '''konvergencija tačka-po-tačka''' ili '''obična konvergencija'''.

=== Ravnomjerna (uniformna) konvergencija ===

Neka su na nekom skupu <math>D</math> definisane funkcije <math>f_n(x)  (n=1,2,3,...)</math>.

Kažemo da niz <math>\{f_n(x)\}</math> '''ravnomjerno (uniformno)''' na <math>D</math> konvergira ka funkciji <math>f(x)</math> ako za svako <math>\epsilon > 0</math> postoji prirodan broj <math>n_0=n_0(\epsilon)</math> koji zavisi samo od <math>\epsilon</math> i takav je da za svako <math>x\in D</math> vrijedi

<center><math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon</math> čim je <math>n\geq n_0</math></center>

=== Konvergencija gotovo svuda ===
Ako niz <math>\{f_n(x)\}</math> konvergira za gotovo svako <math>x\in D</math>, osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira '''gotovo svuda''' na <math>D</math>.

=== Konvergencija u mjeri ===
Za niz <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> <math>\mu</math>- izmjerivih funkcija na prostoru [[mjera|mjere]] <math>(X,M,\mu)</math> kažemo da konvergira u '''mjeri''' <math>\mu</math> ka funkciji <math>f(x)</math>, ako za svako <math>\epsilon > 0</math> vrijedi

<center><math>\mu\{x\in X : |f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\longrightarrow 0</math> kada <math>n \longrightarrow \infty</math></center>

=== Konvergencija u normi ===
Za niz <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> <math>\mu</math>- izmjerivih funkcija na prostoru mjere <math>(X,M,\mu)</math> kažemo da konvergira u '''[[norma|normi]]''' <math>L^p</math> <math>(p\geq 1)</math> ako vrijedi:

<center><math>(L)\int_{X}|f_n(x)-f(x)|^p d\mu \longrightarrow 0</math> kada <math>n\longrightarrow\infty</math></center>

== Također pogledajte ==
* [[Skup (matematika)]]

[[Kategorija:Nizovi i redovi| ]]
[[Kategorija:Elementarna matematika]]