Izvorni kôd stranice Michaelis–Mentenova kinetika

[[Datoteka:Michaelis Menten curve 2.svg|mini|400px|Michaelis–Mentenova saturacijska kriva jedne enzimske reakcije koja prikazuje odnose između koncentracije supstrata i reakcijske stope]]

'''Michaelis–Mentenova kinetika''' – u [[biohemija|biohemiji]] – jedan je od najpoznatijih modela [[kinetika enzima|enzimske kinetike]]. Imenovana je po njemačkom biohemičaru [[Leonor Michaelis|Leonoru Michaelisu]] i kanadskoj ljekarnici [[Maud Menten|Mudu Mentenu]]. Ovaj model ima oblik jednadžbe koja opisuje stopu [[enzimska reakcija|enzimskih reakcija]], povezujući [[stopa reakcije|reakcijsku stopu]] <math>v</math> sa <math>[S]</math>, koncentracijom [[supstrat (biohemija)|enzimskog supstrata]] ''S''. Njegovu formulu sadrži izraz:

:<math> v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{ V_\max {[S]}}{K_\mathrm{M} + [S]}.</math>,

gdje <math>U_\max</math> = maksimalna postignuta brzina sistema, pri maksimalnoj (zasićenju) koncentraciji supstrata. Michaelisova konstanta <math>K_\ mathrm{M}</math> je koncentracija podloge na kojoj je stopa reakcija polovina <math>U_\ max</math><ref>http://www.worthington-biochem.com/introbiochem/substrateconc.html</ref> Za biohemijsku reakcija koja uključuje jedan supstrat obično se pretpostavlja da prati Michaelis-Mentenovu kinetiku, bez obzira na pretpostavke modela.<ref>Voet D., Voet J. (1995): Biochemistry, 2nd Ed. Wiley, http://www.wiley.com/college/math/chem/cg/sales/voet.html.</ref><ref>Bugg T. (1997): An introduction to enzyme and coenzyme chemistry. Blackwell Science, Oxford, {{ISBN|0-86542-793-3}}}}</ref><ref>Međedović S., Maslić E., Hadžiselimović R. (2000): Biologija 2. Svjetlost, Sarajevo, {{ISBN|9958-10-222-6}}.</ref>

== Model ==
[[Datoteka:Michaelis Menten S P E ES.svg|mini|Promjene koncentracije u toku djelovanje enzima E.<br>S – supstrat<br>ES – Kompleks enzim-supstrat<br>P – Produkt]]
Godine [[1903]], francuski fizički hemičar [[Victor Henri]] našao je da su enzimske reakcije su pokrenute vezama (općenitije, interakcijom vezivanja) između enzima i supstrata. Njegov rad su preuzeli njemačka biohemičar [[Leonor Michaelis]] i kanadski ljekar [[Maud Menten]], koji su istraživali [[hemijska kinetika|kinetiku]] mehanizam enzimskih reakcija [[invertaza|invertaze]], koja katalizira [[hidroliza|hidrolizu]] [[saharoza|saharoze]] u [[glukoza|glukozu]] i [[fruktoza|fruktozu]]. U [[1913]], predložili su matematički model reakcije. Ona uključuje [[enzim]] E vezivanje za supstratenzim supstrat S formirajući kompleks ES, što se pretvara u [[proizvod (biologija)|proizvod]] P i enzim. To može biti predstavljeno kao:

:<math>
E + S \, \overset{k_f}{\underset{k_r} \rightleftharpoons} \, ES \, \overset{k_\mathrm{cat}} {\longrightarrow} \, E + P
</math>

gdje <math>k_f</math>, <math>k_r</math> i <math>k_\mathrm{cat}</math> označavaju [[konstanta reakcijske stope|konstantu stopa]], a dvostruke strelice između S i ES predstavljaju pojavu da je veza enzim-supstrat [[reverzibilna reakcija|reverzibilni proces]].

Pod određenim pretpostavkama, kao što su da je koncentracija enzima mnogo manja nego što je koncentracija supstrata – stopa formiranja proizvoda je:

<math>v =\frac{d [P]}{dt} = V_\max\frac{[S]}{K_\mathrm{M} + [S]} = k_\mathrm{cat} [E]_0\frac{[S]}{K_\mathrm{M} + [S]}.</math>

[[Reakcijska stopa]] raste sa povećanjem koncentracije supstrata <math>[S]</math>, [[asimptota|asimptotski]] se približava svojom maksimalnom brzinom <math>U_\max</math>, postignuta je kada je sav enzim vezan za podlogu. Također slijedi da <math>V_\max = k_\mathrm{cat} [E]_0</math>, where <math>[E]_0</math> i je početne koncentracije enzima. <math>k_\mathrm{cat}</math>, [[broj prometa]], je maksimalan broj molekula supstrata pretvorenih u proizvod po molekuli enzima u sekundi.<ref>Nelson D. L., Cox M. M. (2013): Lehninger principles of biochemistry. W. H. Freeman and Co., {{ISBN|978-1-4641-0962-1}}.</ref>

Michaelisova konstanta <math>K_\mathrm {M}</math> je koncentracija podloga na kojoj je stopa reakcija je na pola maksimuma i je inverzna mjera afiniteta podloge za enzim; mala <math> K_\mathrm{M}</math> ukazuje na visok afinitet, što znači da će stopa <math>U_\max</math> biti brža. Vrijednost <math>K_\mathrm{M}</math> ovisi i o enzimu i supstratu, kao i uvjetima reakcije, kao što su temperatura i pH.<ref>Lindhorst T. (2007): Essentials of carbohydrate chemistry and biochemistry. Wiley-VCH, 3527315284}}</ref><ref>Robyt F. (1997): Essentials of carbohydrate chemistry. Springer, {{ISBN|0387949518}}.</ref><ref>Kornberg A. (1989): For the love of enzymes – The Odyssay of a biochemist. Harvard University Press, Cambridge (Mass.), London,{{ISBN|0-674-30775-5}}, {{ISBN|0-674-30776-3}}.</ref><ref>Laidler K. J. (1978): Physical chemistry with biological applications. Benjamin/Cummings, Menlo Park, {{ISBN|0-8053-5680-0}}.</ref><ref>Bajrović K, Jevrić-Čaušević A., Hadžiselimović R., Ed. (2005): Uvod u genetičko inženjerstvo i biotehnologiju. Institut za genetičko inženjerstvo i biotehnologiju (INGEB), Sarajevo, {{ISBN|9958-9344-1-8}}.</ref><ref>Hunter G. K. (2000): Vital Forces. The discovery of the molecular basis of life. Academic Press, London 2000, {{ISBN|0-12-361811-8}}.</ref>

== Definiranje konstanti ==
[[Datoteka:Michaelis-Menten.png|mini|Dijagram brzine reakcije − Mihaelis-Mentenov dijagram]]
Za određivanje maksimalne [[brzina|brzine]] enzimski kataliziranih reakcija, koncentracija supstrata se povećava sve dok se ne ostvari konstantna brzina stvaranje  [[produkt (hemija)|proizvoda]]. Ta brzina predstavlja ''maksimalnu brzinu'' (''V''<sub><small>max</small></sub>) enzima. U ovom stanju, [[aktivno mjesto|aktivna mjesta enzima su zasićena supstratom. Faktori koji utiču na brzinu enzimskih reakcija (kao što su [[pH vrednost|pH]], [[temperatura|temperature]] i dr.) su također podešeni na optimalne vrijednosti.

== Reakcijska brzina /'V' ==
Brzina reakcije predstavlja broj njenih ponavljanja, koja su enzimski katalizirana, u jednoj [[sekund]]i. Sa povećanjem koncentracije supstrata [S], brzina reakcije (koja odgovara konstantnoj koncentraciji enzima) se [[asimptota|asimptotski]] približava maksimalnoj brzini ''V''<sub>max</sub>, ali je zapravo nikada ne dostigne. Zbog toga, ne postoji [S] koji odgovara ''V''<sub>max</sub>. Umjesto toga, karakteristična vrijednost za dati enzim je definirana koncentracijom supstrata koja odgovara polovini maksimalne brzine (''V''<sub>max</sub>''/2''). Ova K<sub>M</sub> vrijednost se označava kao ''Mihaelis-Menten konstanta''.

== Mihaelisova konstanta '''K''<sub><small>M</small></sub> ==
Budući da se koncentracija supstrata koja odgovara <sub><small>max</small></sub> ne može sasvim tačno eksperimentalno odrediti, enzimi se karakteriziraju koncentracijom supstrata koja odgovara polovini maksimalne brzine. Ta koncentracija se naziva ''Mihaelis-Mentenova konstanta'' (''K''<sub><small>M</small></sub>) ili [[Mihaelis konstanta]]. Za sve enzime koji se ponašaju po jednostavnoj Mihaelis-Mentenovoj  kinetici, ona predstavlja [[konstanta disocijacije|konstantu disocijacije]] ([[afinitet]] supstrata) u kompleksu enzim-supstrat (ES). Niska vrijednost Km pokazuje da je (ES) kompleks dosta stabilan i da rijetko disocira bez formiranja produkta.

''K''<sub><small>M</small></sub> se može upotrebljavati za opisivanje afiniteta enzima prema supstratu, onda  kada je ''k''<sub><small>2</small></sub> brzinski ograničavajuća, tj. ''k''<sub><small>2</small></sub> << ''k''<sub><small>1</small></sub> i ''K''<sub><small>M</small></sub> postaje ''k''<sub><small>-1</small></sub>/''k''<sub><small>1</small></sub>. Često, ''k''<sub><small>2</small></sub> >> ''k''<sub><small>1</small></sub>, ili ''k''<sub><small>2</small></sub> i ''k''<sub><small>1</small></sub> su istog reda veličine.

== Aplikacije==

Vrijednosti parametra široko variraju između različitih  enzima: 
{| class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|-
! Enzim !! <math>K_\mathrm{M}</math> (M) !! <math>k_\text{cat}</math> (1/s) !! <math>k_\text{cat}/K_\mathrm{M}</math> (1/M*s)
|-
| [[Himotripsin]] || 1.5 × 10<sup>−2</sup> || 0.14 || 9.3
|-
| [[Pepsin]] || 3.0 × 10<sup>−4</sup> || 0.50 || 1.7 × 10<sup>3</sup>
|-
| Tirozil-[[tRNK]] sintetaza || 9.0 × 10<sup>−4</sup> || 7.6 || 8.4 × 10<sup>3</sup>
|-
| [[Ribonukleaza]] || 7.9 × 10<sup>−3</sup> || 7.9 × 10<sup>2</sup> || 1.0 × 10<sup>5</sup>
|-
| [[Ugljik anhidraza]] || 2.6 × 10<sup>−2</sup> || 4.0 × 10<sup>5</sup> || 1.5 × 10<sup>7</sup>
|-
| [[Fumaraza]] || 5.0 × 10<sup>−6</sup> || 8.0 × 10<sup>2</sup> || 1.6 × 10<sup>8</sup>
|}
Konstanta  <math>k_\text{cat}/K_\mathrm{M}</math>  ([[katalitska efikasnost]]) je mjera koliko enzim efikasno pretvara supstrat u proizvod. [[Difuzijski ograničen enzim|Difuzijom ograničeni enzimi]], kao što je [[fumaraza]], rade na teorijski gornjoj granici: 10 <sup>8</sup> '''–''' 10 <sup>10</sup>/M*e, ograničene difuzije supstrata u [[aktivno mjesto|aktivnom mjestu]].

Michaelis–Mentenova  kinetika se može primijeniti na različite sfere izvan biohemijskih reakcija, uključujući  čišćenje prašine u [[plućna alveola|plućinm alveolama]] u mnoštvu vrsta, sa niskim [[sadržaj alkohola u krvi|alkoholom u krvi]],  u [[PI kriva|Pi]] odnosima  [[fotosinteza|fotosintetskog]] zračenja i infekcijama bakterijskim [[bakteriofag|fagima]].

== Izvođenje==
Primjena [[zakon masovne akcije|zakona masovne akcije]], prema kojem j je stopa reakcija  proporcionalna proizvodu koncentracija reaktanata (tj [E] [S]), daje sistem od četiri nelinearne [[obične diferencijalne jednadžbe]], koje definiraju stopu promjene reaktanata s vremenom

<math>t</math>:
:<math>\begin{align}
\frac{d[E]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] + k_{cat} [ES] \\
\frac{d[S]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] \\
\frac{d[ES]}{dt} &=  k_f [E][S] - k_r [ES] - k_{cat} [ES] \\
\frac{d[P]}{dt} &=  k_{cat} [ES].
\end{align}</math>

U ovom mehanizmu, enzim E je [[katalizator]], što samo olakšava reakcije, tako da je njegova ukupna koncentracija, slobodna plus kombinirana <math>[E] + [ES] = [E]_0</math> konstanta. Ovaj zakon očuvanja može se uočiti dodavanjem prve i treće gornje jedndžbe.

=== Aproksimacija ravnoteže===
U izvornoj analizi, Michaelis i Menten pretpostavljaju da je podloga u trenutnoj [[hmijska ravnoteža|hemijskoj ravnoteži]] sa kompleksom, što podrazumijeva:

:<math>k_f [E] [S] = k_r [ES].</math>

Iz  zakona o enzimskoj konzervaciji, dobija se:
 
:<math>[E] = [E]_0 - [ES].</math>

Kombiniranjem dva gornja izraza, dobije se:

:<math>k_f([E]_0 - [ES])[S] = k_r[ES].</math>

Pojednostavljeno, dobijamo:

:<math>[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_d + [S]}</math>

gdje  je  <math>K_d = k_r / k_f</math> [[disocijacijska konstanta]] za kompleks enzim-supstrat. Zato je brzina reakcije <math>v</math> of the reaction&nbsp;–stopa po kojoj se formira&nbsp;P:

:<math>v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{V_\max {[S]}}{K_d + [S]}</math>

gdje je  <math>V_\max = k_\mathrm{cat} [E]_0</math> maksimalna brzina reakcije.

=== Aproksimacije lažno-stabilnog stanja ===
Alternativnu analizu sistema su  preduzeli britanski botaničar [[George Edward Briggs|G. E. Briggs]] i britanski genetičar [[J. B. S. Haldane]] u [[1925]].  Oni su pretpostavili da se koncentracija prijelaznog kompleksa na vremenskoj skali ne mijenja od formiranja proizvoda, što je poznato kao pretpostavka o kvazi-[[stabilno stanje (hemija)|stabilnom stanju]]  ili pseudo-ustaljenom stanjau. Matematički, ova pretpostavka znači <math>k_f [E] [S] = k_r [ES] + k_\mathrm{cat} [ES] </math>. 
 
Kombinirajući taj odnos sa zakonom očuvanja enzima, koncentracija kompleksa je:

:<math>[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_\mathrm{M} + [S]}</math>

gdje je

:<math>K_\mathrm{M} = \frac{k_r + k_\mathrm{cat}}{k_f}</math>

Poznatp kao Michaelisova konstanta, u kojoj su  <math>k_r</math>, <math>k_\mathrm{cat}</math> i  <math>{k_f}</math> konstante nevezanog supstrata, konverzije u  produkt i  vezanje za enzim. Zato je brzina reakcije <math>v</math>:

:<math>v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{V_\max {[S]}}{K_\mathrm{M} + [S]}.</math>

== Pretpostavke i ograničenja ===
Prvi korak u izvođenju primjenjuje [[zakon masovne akcije]], koja se oslanja na slobodnu [[difuzija|difuziju]]. Međutim, u okruženju žive ćelije, u kojoj postoji visoka koncentracija proteina, citoplazma se često ponaša više kao gel nego sol (tečnost), ograničavajući kretanje molekula i mijenjanjajući stope reakcija. Iako zakon masovne akcije može biti važeći u heterogenim okruženjima,  prikladniji je za modeliranje citoplazme kao [[fraktal]]a, kako bi snimili kinetiku ograničene-mobilnosti. Rezultirajuće stope reakcija predviđaju dva  pomenuta pristupa su slična, s jedinom razlikom što se aproksimacija ravnoteže definira kao konstanta<math>K_d</math>, dok je kvazi-stabilnom  stanju aproksimacije upotrebljava <math>K_\mathrm{M}</math>. Međutim, svaki pristup se temelji na drugačijoj pretpostavci. Analiza Michaelis-Mentenove ravnoteže je važeća ako supstrat postigne ravnotežu srazmjerno mnogo brže  nego što je formiran proizvod ili, preciznije, da:

:<math>\epsilon_d = \frac{k_\mathrm{cat}}{k_r}\ll1.</math>

Nasuprot tome, Briggs–Haldanova analiza kvazi stabilnog stanja vrijedi ako:

:<math>\epsilon_m = \frac{[E]_0}{[S]_0 + K_\mathrm{M}}\ll1.</math>

Stoga  je održiva onda kada ako je koncentracija enzima mnogo manja nego koncentracija supstrata. Čak i ako i ovo ne zadovoljava, aproksimacija je važeća ako je <math>K_\ mathrm{M}</math> velika.

U obje, Michaelis-Menten i Briggs-Haldane analize, kvalitet aproksimacije dokazuje smanjenje as <math>\epsilon\,\!</math>. Međutim, Michaelis-Mentenov  model kinetike se često podržava, bez obzira na pretpostavke.

Također je važno imati na umu da, iako  je ireverzibilna, neophodno je pojednostavljenje,  kako bi se našlo prihvatljivo analitičko rješenje. Reakcija enzima je ispravnije opisana kao

:<math>
E + S \, \overset{k_{f_1}} {\underset{k_{r_1}} {\rightleftharpoons}} \, ES \, \overset{k_{f_2}} {\underset{k_{r_2}} {\rightleftharpoons}} \, E + P.</math>

Uopćeno, pretpostavka o nepovratnosti je dobra u situacijama u kojima je istinit  jedan od uvjeta  ispod:<br>
: 1. Koncentracija supstrata (e) je mnogo veća nego što je koncentracija proizvoda;
::<math> [S] \gg [P] .</math>
Ovo je istinito u uvjetima standardnih istraživanja ''[[in vitro]]''  i za većinu  ''[[in vivo]]'' bioloških reakcije, osobito gdje se produkt neprekidno otklanja putem postepenih reakcija.<br>
:2.  Oslobođena energija reakcije je vrlo velika, kada je:

::<math>\Delta{G} \ll 0.</math>

U situacijama kada  nema niti jednog od ova dva  prethodna uvjeta  (reakcijska energij je niska i postoje značajne količine gotovih proizvoda), Michaelis-Mentenova jednadžba ne odgovara, ia pristup složenijem modeliranju izričito uzima   u obzir prethodne i naredne  reakcije, da bi se shvatila biologija datog  enzima.

==Historija ==
Međusobni odnos između koncentracija supstrata i enzima prvi su ustanovili [[1913]]. godine Leonor Mihaelis i Maud Menten, prateći ranije radove [[Archibald Vivian Hil|Archibalda Viviana Hila]].<ref>Leonor Michaelis, Maud Menten (1913). Die Kinetik der Invertinwirkung, Biochem. Z. 49:333-369.</ref>

[[Matematika|Matematičku]] formulaciju su izveli G. E. Briggs i J. B. S. Haldane.<ref>G. E. Briggs and J. B. S. Haldane (1925) A note on the kinetics of enzyme action, Biochem. Journ., 198: 339-339.</ref>
==Također pogledajte==
*[[Enzim]]
*[[Supstrat (biohemija)|Supstrat]]
*[[Kataliza]]

== Reference ==
{{reflist}}

== Vanjski linkovi==
* [https://web.archive.org/web/20060822015459/http://web.mit.edu/esgbio/www/eb/kinetics/MandM.html Kinetika enzima i Mihaelis-Mentenova kinetika]
{{-}}

[[Kategorija:Kinetika enzima]]
[[Kategorija:Hemijska kinetika]]
[[Kategorija:Kataliza]]
[[Kategorija:Diferencijalne jednačine]]