Izvorni kôd stranice Mersenneovi prosti brojevi

'''Mersenovi [[Prosti brojevi|prosti brojev]]i''' su prosti brojevi oblika <math>2^n-1</math><ref name=":0">{{Cite web|url=https://misbeta.element.hr/fajli/190/11-10.pdf|title=Mersenneovi brojevi|website=misbeta.element.hr|access-date=16. 2. 2025}}</ref>

Nije poznato da li ovih brojeva ima konačno ili beskonačno mnogo.

U januaru 2013. pronađen je, za sada najveći 48. po redu Mersenov prost broj koji za n=57885161, ima 17 425 170 cifara.

Naziv su dobili po matematičaru [[Marinu Mersenn]]u (8. septembar 1588 - 1. septembar 1648) koji je bio francuski [[teolog]], [[filozof]], [[matematičar]] i [[teoretičar muzike]], koga često nazivaju ocem [[Akustika|akustike]]. Mersenn je bio centar naučnog svijeta i svijeta [[Matematika|matematike]] u prvoj polovini XVII  vijeka. U svojoj knjizi "Cogita Physico– Mathematica" iznio je tvrdnju da je broj <math>2^n - 1</math> za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 [[Prost broj|prost]], a za sve druge [[Prirodan broj|prirodne brojeve]] manje od 257 da je [[Složeni brojevi|složen broj]]. Kasnije su provjere pokazale kako je Mersenne pogriješio, i da brojevi <math>m_{67}</math> i <math>m_{257}</math> nisu prosti, a da su prosti brojevi <math>m_{61}</math>, <math>m_{89}</math> i <math>m_{107}</math>.<ref name=":0" />

Do danas je poznato 38 Mersenneovih brojeva, a u donjoj tablici se navodi nekoliko posljednjih:<ref name=":0" />
{| class="wikitable"
|-
! n !!  broj cifri !! godina!! otkrio
|-
| 1 257 787 || 378632|| 1996 || Slowinski i Gage
|-
| 1 398 269 || 420 921 || 1996 || Armengaud i Woltman
|-
| 2 976 221 || 895 932 || 1997 || Spence i Woltman
|-
| 3 021 377 || 909 526 || 1998 || Clarkson
|-
| 6 972 593 || 2 098 960|| 1999 || Hajratwala
|}
Godine 1963. u [[Sjedinjene Američke Države|Sjedinjenim Americkim Državama]] kreiran je poštanski pečat na kojem stoji zapis da je broj <math>2^{11 213} - 1</math> prost. A na memorandumu velikog proizvodača računala [[IBM]]–a neko je vrijeme stajalo zapisano da je broj <math>2^{19 937}- 1</math> prost.<ref name=":0" />

Mersseneova tvrdnja probudila je veliko zanimanje zato što su brojevi toliko veliki da nekoliko stotina godina niko nije mogao potvrditi ni opovrgnuti njegovu tvrdnju. Tadašnjim [[matematičar]]ima bilo je jasno da Mersenne nije mogao provjeriti tvrdnju za sve navedene brojeve, ali isto tako nisu mogli ni oni. [[Leonhard Euler]] pokazao je 1772. godine da je <math>m_{31}</math> prost tako što je provjerio sve proste brojeve do '''46339''' kao moguće djelitelje, ali tu metodu nije mogao upotrijebiti na brojevima <math>m_{67}</math>, <math>m_{127}</math> i <math>m_{257}</math>. Na sličan način je [[Pietro Cataldi]] 1588. godine pokazao da su <math>m_{17}</math>i <math>m_{19}</math> prosti brojevi.<ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/MAS22.pdf|title=Mersenneovi i savršeni brojevi|last=Maslać|first=Ana|date=2012|website=mathos.unios.hr|access-date=16. 2. 2025}}</ref>

Provjera da li je neki broj oblika <math>2^n-1</math> Mersenneov ili nije je komplikovana. Broj <math>2^n</math> vrlo brzo raste pa je neophodno u provjerama koristiti računare. No neki stariji rezultati su uistinu impresivni. Francuski matematičar [[Edouard Lucas]] (1842. - 1891.) dokazao je 1876. da je broj

<math>m_{127}= 170 141 183 460 469 231 731 687</math><math>303 715 884 105 727</math> prost broj.<ref name=":1" />

Lucas je pritom razvijao metode kojima bi se postupak provjere što vise pojednostavio, pa ga danas smatraju pionirom modernog numeričkog računa. Važan je rezultat kako broj <math>2^n -1</math> uopšte može biti prost samo ako je <math>n</math> prost. Uz traganje za Mersenneovim brojevima vezan je niz detalja. Tako su, primjerice Laura Nickel i Curt Noll, dvoje osamnaestogodišnjih studenata Kalifornijskog sveučilista u Haywardu, otkrili uz pomoć računara da je <math>2^{21 701} - 1</math> prost broj. Taj broj sastoji se od <math>6 533</math> cifri. Također, devetnaestogodišnji Amerikanac Ronald Clarkson je 1998. na svom kućnom računaru otkrio Mersenneov broj <math>m_{3 021 377}</math> u čijem je zapisu <math>909 526</math> cifri.<ref name=":0" />

== Reference ==
{{reference}}

{{Commonscat|Mersenne prime}}

[[Kategorija:Teorija brojeva]]
[[Kategorija:Matematika]]
[[Kategorija:Prosti brojevi]]