Izvorni kôd stranice Mehanika kontinuuma

{{mehanika kontinuuma}}
'''Mehanika kontinuuma''' je oblast [[mehanika|mehanike]] koja se bavi mehaničkim ponašanjem materijala koji su modelirani kao kontinuirana masa, a ne kao diskretne čestice. Francuski matematičar [[Augustin-Louis Cauchy]] prvi je formulirao takve modele u 19. stoljeću.

== Objašnjenje ==
{{Klasična mehanika | cTopic = Grane}}
Modeliranje objekta kao kontinuuma pretpostavlja da njegova supstanca  u potpunosti ispunjava prostor koji zauzima. Modeliranje objekata na ovaj način ignorira činjenicu da je materija sačinjena od [[atom]]a, i tako nije kontinuirana; međutim, na [[dužina|skali dužine]] mnogo većoj od one na međuatomskoj udaljenosti, takvi su modeli vrlo precizni. Na takve modele mogu se primijeniti osnovni fizički zakoni, kao što su [[očuvanje mase]], [[očuvanje impulsa]] i [[očuvanje energije]], kako bi se izvele [[diferencijalna jednadžba|diferencijalne jednadžbe]] koje opisuju ponašanje takvih predmeta, a neke informacije o istraživanom materijalu dodaju se putem [[konstitutivni odnos|konstitutivnih odnosa]].

Mehanika kontinuuma bavi se fizičkim svojstvima čvrstih supstanci i fluida koje su neovisne o bilo kojem određenom [[koordinatni sistrm|koordinatnom sistemu]] u kojem se promatraju. Ta fizička svojstva tada predstavljaju [[tenzor]]e, koji su matematički objekti sa više traženih svojstava neovisnosti od koordinatnog sistema. Ovi tenzori se mogu izraziti u koordinatnim sistemima radi računske pogodnosti.

== Koncept kontinuuma ==
Materijali, kao što su [[čvrsto stanje|čvrste supstance]], [[tečnost]]i i [[plin]]ovi, sastoje se od [[molekula]] odvojenih prostorom. Na mikroskopskoj skali, materijali imaju pukotine i diskontinuitete. Međutim, određeni fizički fenomeni mogu se modelirati, pod pretpostavkom da materijali postoje kao ''kontinuum, što znači da se materija u tijelu kontinuirano distribuira i ispunjava čitav prostor dijela koji zauzima''. Kontinuum je tijelo koje se može kontinuirano podijeliti na [[beskonačnost|beskonačno male]] elemente sa svojstvima struktura rasutog materijala.

Valjanost pretpostavke o kontinuumu može se provjeriti teorijskom analizom, u kojoj se identificira ili neka jasna periodičnost, ili [[homogenost (statistika)|statistička homogenost]] i [[ergodičnost]] [[mikrostruktura|mikrostrukture]]. Preciznije, pretpostavka o kontinuumu zavisi od koncepata [[reprezentativni osnovni volumen|reprezentativnog osnovnog volumena]] i odvajanja skala na osnovu [[Hill-Mandelovo stanje|Hill-Mandelovog stanja]]. Ovaj uvjet pruža vezu između stajališta eksperimentalista i teoretičara o konstitutivnim jednadžbama (linearna i nelinearna elastična / neelastična ili spregnuta polja), kao i načinu prostornog i statističkog usrednjavanja mikrostrukture.{{sfn|Ostoja-Starzewski|2008|loc= chapters 7–10}}

Kada razdvajanje skala ne vrijedi ili kada se želi uspostaviti kontinuitet finije rezolucije od one reprezentativne veličine volumenskog elementa (RVE), koristi se „statistički volumenski element“ (SVE), koji dovodi do slučajnih polja kontinuuma. Potonji tada pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (SFE). Nivoi SVE i RVE povezuju mehaniku kontinuuma sa [[statistička mehanika|statističkom mehanikom]]. RVE se može procijeniti samo ograničeno, putem eksperimentalnih ispitivanja: kada konstitutivni odgovor postane prostorno homogen.

Konkretno za [[fluid]]e, [[Knudsenov broj]] koristi se za procjenu u kojoj se mjeri može izvršiti aproksimacija kontinuiteta.

== Saobraćaj automobila kao uvodni primjer ==
Ako se uzme u obzir promet automobila na autoputu, sa samo jednom trakom radi jednostavnosti, pomalo iznenađujuće, i u znak priznanja svojoj efikasnosti, mehanika kontinuuma efikasno modelira kretanje automobila. To ostvaruje  putem [[jednačina parcijalnih diferencijala]] (PDE) za gustinu automobila.
Poznavanje ove situacije osnažuje mogućnost da se razumije malo dihotomije kontinuuma i diskretnosti koja je u osnovi modeliranja kontinuuma uopće.

Za početak modeliranja definirajmo da: <math>x</math> mjeri udaljenost (u km) duž autoceste; <math>t</math> je vrijeme (u minutama); <math>\rho (x, t)</math> je gustoća automobila na autoputu (u automobilima/km u traci); a <math>u (x, t)</math> je [[brzina protoka]] (prosječna brzina) tih automobila 'na' položaju <math>x</math>.

===Konzervacija izvođenja [[Parcijalna diferencijalna jednadžba|PDJ]]===
Automobili se tek tako pojavljuju pa nestaju.
Razmotrimo bilo koju grupu automobila: od određenog automobila na stražnjem dijelu grupe koji se nalazi na <math>x=a(t)</math> do određenog automobila na prednjoj strani koji se nalazi na <math>x=a(t)</math> do određenog automobila sprijeda koji se nalazi na <math>x=b(t)</math>.
T:Ukupan broj automobila u ovoj grupi <math>N=\int_{a(t)}^{b(t)} \rho(x,t)\,dx</math>.
Budući da su automobili zaštićeni (ako postoji preticanje, tada "automobil sprijeda\ straga" može postati različiti automobil)
:<math>dN/dt=0</math>.
Ali putem [[Leibnizovo integralno pravilo|Leibnizovog integralnog pravila]]:
:<math>\begin{align}{}\frac{dN}{dt}&=\frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)} \rho(x,t)\,dx
\\&=\int_{a}^{b} \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dx
+\rho(b,t)\frac{db}{dt}-\rho(a,t)\frac{da}{dt}
\\&=\int_{a}^{b} \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dx
+\rho(b,t)u(b,t)-\rho(a,t)u(a,t)
\\&=\int_{a}^{b} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \frac{\partial}{\partial x}(\rho u) \right] dx
\end{align}</math>
Ovaj integral, kao nula, vrijedi za sve grupe, odnosno za sve intervale <math>[a,b]</math>.
Jedini način na koji integral može biti nula za sve intervale je ako je integran za sve <math>x</math>.
Slijedom toga, konzervacija izvodi nelinearno konzerviranje prvog reda PDE
:<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \frac{\partial}{\partial x}(\rho u)=0</math>
za sve pozicije na autoputu.

Ovaj zaštitni PDE odnosi se, ne samo na automobilski prome,t već i na [[tečnost]]i, [[čvrsto stanje|čvrste materije]], gužvu, [[životinje]], [[biljke]], [[požar]], finansijski promet itd.

=== Promatranje zatvara problem ===
Kada  vrijedi skala razdvajnja ili kada se želi uspostaviti kontinuitet finije rezolucije od one reprezentativne veličine volumenskog elementa (RVE), koristi se „statistički volumenski element“ (SVE), koji u okret, dovodi do slučajnih polja kontinuuma. Potonji tada pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (SFE). Nivoi SVE i RVE povezuju mehaniku kontinuuma sa [[statistička mehanika]]. RVE se može procijeniti samo ograničeno putem eksperimentalnih ispitivanja: kada konstitutivni odgovor postane prostorno homogen.

Konkretno, za [[fluid]]e, koristi se [[Knudsenov broj]]za procjenu u kojoj se mjeri mmože izvršiti aproksimacija kontinuiteta.

==Primjena==
* [[Mehanika kontunuuma]]
**[[Mehanika čvrstog stanja]]
** [[Mehanika fluida]]
* [[Inženjerstvo]]
** [[Građevinarstvo]]
** [[Mehaničko inžinjerstvo]]
** [[Vazduhoplovstvo]]
** [[Biomedicinsko inzenjerstvo]]
** [[Hemijsko inženjerstvo]]

== Također pogledajte ==
{{Div col|colwidth=20em}}
* [[Bernoullijev princip]]
* [[Cauchyjev elastični materijal]]
* [[Konfiguraciona mehanika]]
* [[Krivolinijske koordinate]]
* [[Jednadžba stanja]]
* [[Tenzori konačnih deformacija]]
* [[Teorija konačnih deformacija]]
* [[Hiperelastični materijal]]
* [[Lagrangova i Eulerova specifikacija polja protoka]]
* [[Pokretni ćelijski automat]]
* [[Peridinamika]] 
* [[Stres (fizika)]]
* [[Mjere stresa]]
* [[Tenzorski račun]]
* [[Teorija elastičnosti]]
{{Div col end}}

==Reference==
{{reflist}}

===Dopunska literatura===
*{{cite journal|last1=Dienes|first1=J. K.|last2=Solem|first2=J. C.|year=1999|title=Nonlinear behavior of some hydrostatically stressed isotropic elastomeric foams|journal=Acta Mechanica|volume=138|issue=3–4|pages=155–162 |doi=10.1007/BF01291841|url=https://zenodo.org/record/1232490}}
*{{Cite book
| last = Fung 
| first = Y. C.
| publisher = Prentice-Hall, Inc.
| year = 1977 
| title = A First Course in Continuum Mechanics 
| url = https://archive.org/details/firstcourseincon0000fung
| edition = 2nd 
| isbn = 978-0-13-318311-5}}
*{{cite book
| last = Lubliner
| first = Jacob
| title = Plasticity Theory
| publisher = Dover Publications
| year = 2008
| url = http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
| isbn = 978-0-486-46290-5
| url-status = dead
| archive-url = https://web.archive.org/web/20100331022415/http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
| archive-date = 31. 3. 2010
| edition = Revised
}}
*{{cite book |title=Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials |last=Ostoja-Starzewski |first=M. |year=2008 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-58488-417-0 |chapter= 7-10 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=_Qyf1woZPNgC}}
*{{cite book |title=Continuum Mechanics|last=Spencer|first=A.J.M.|year=1980 |publisher=Longman Group Limited (London) |isbn=978-0-582-44282-5|page=83 |url=https://books.google.com/books?id=AJdfQL0rgrgC}}
*{{cite book |first=A. J. |last=Roberts |title=A One-Dimensional Introduction to Continuum Mechanics |publisher=World Scientific |year=1994 }}

===Opće reference===
*{{cite book |first=R. C. |last=Batra |year=2006 |title=Elements of Continuum Mechanics |publisher=AIAA |location=Reston, VA}}
*{{cite book
| last = Bertram 
| first = Albrecht
| title = Elasticity and Plasticity of Large Deformations - An Introduction
| publisher = Springer
| year = 2012
| edition = Third
| isbn = 978-3-642-24615-9| doi = 10.1007/978-3-642-24615-9
}}

*{{Cite book
| last = Chandramouli, P.N
| publisher = Yes Dee Publishing Pvt Ltd
| year = 2014
| title = Continuum Mechanics
| url = http://www.yesdee.com/ysdbook.php?ysde=408&ys=0-64-56
| isbn = 9789380381398
| access-date = 31. 10. 2020
| archive-date = 4. 8. 2018
| archive-url = https://web.archive.org/web/20180804105939/http://www.yesdee.com/ysdbook.php?ysde=408&ys=0-64-56
| url-status = dead
}}

*{{Cite book
| first = A. Cemal
| last = Eringen 
| publisher = Krieger Pub Co
| year = 1980 
| title = Mechanics of Continua 
| edition = 2nd
| isbn = 978-0-88275-663-9}}

*{{cite book
| last = Chen
| first = Youping |author2=James D. Lee |author3=Azim Eskandarian
| title = Meshless Methods in Solid Mechanics
| publisher = Springer New York
| year = 2009
|edition= First
| isbn = 978-1-4419-2148-2 }}

*{{cite book
| last = Dill | first = Ellis Harold
| title =Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity
| publisher = CRC Press
| year = 2006
| location = Germany 
| url = https://books.google.com/books?id=Nn4kztfbR3AC
| isbn = 978-0-8493-9779-0}}

*{{cite book
| last = Dimitrienko | first = Yuriy
| title = Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations
| publisher = Springer
| year = 2011
| location = Germany 
| isbn = 978-94-007-0033-8}}

*{{cite book
| last = Hutter | first = Kolumban
|author2=Klaus Jöhnk
| title = Continuum Methods of Physical Modeling
| publisher = Springer
| year = 2004
| location = Germany 
| url = https://books.google.com/books?id=B-dxx724YD4C
| isbn = 978-3-540-20619-4}}

*{{cite book |first=M. E. |last=Gurtin |year=1981 |title=An Introduction to Continuum Mechanics |publisher=Academic Press |location=New York}}
*{{Cite book
|first = W. Michael
|last = Lai
|author2 = David Rubin
|author3 = Erhard Krempl
|publisher = Elsevier, Inc.
|year = 1996
|title = Introduction to Continuum Mechanics
|edition = 3rd
|url = http://www.elsevierdirect.com/product.jsp?isbn=9780750628945
|archive-url = https://web.archive.org/web/20090206214423/http://www.elsevierdirect.com/product.jsp?isbn=9780750628945
|url-status = dead
|archive-date = 6. 2. 2009
|isbn = 978-0-7506-2894-5
}}

*{{cite book
| last = Lubarda
| first = Vlado A.
| title = Elastoplasticity Theory
| publisher = CRC Press
| year = 2001
| url = https://books.google.com/books?id=1P0LybL4oAgC
| isbn = 978-0-8493-1138-3 }}

*{{cite book
| last = Malvern
| first = Lawrence E.
| year=1969
| title=Introduction to the mechanics of a continuous medium
| publisher = Prentice-Hall, Inc.
| location=New Jersey}}

*{{cite book
| last = Mase
| first = George E.
| title = Continuum Mechanics
| publisher = McGraw-Hill Professional
| year = 1970
| url = https://books.google.com/books?id=bAdg6yxC0xUC
| isbn = 978-0-07-040663-6 }}

*{{cite book
| last = Mase
| first = G. Thomas
|author2=George E. Mase
| title = Continuum Mechanics for Engineers
| publisher = CRC Press
| year = 1999
|edition= Second
| url = https://books.google.com/books?id=uI1ll0A8B_UC
| isbn = 978-0-8493-1855-9 }}

*{{cite book |first=G. A. |last=Maugin |year=1999 |title=The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors: An Introduction |publisher=World Scientific |location=Singapore}}
*{{cite book
| last = Nemat-Nasser
| first = Sia
| title = Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2006
| location = Cambridge
| url = https://books.google.com/books?id=5nO78Rt0BtMC
| isbn = 978-0-521-83979-2}}

*{{cite book
| last = Ostoja-Starzewski
| first = Martin 
| title = Microstructural Randomness and Scaling in Mechanics of Materials
| publisher = Chapman & Hall/CRC Press
| year = 2008
| location = Boca Raton, FL
| url = http://www.crcpress.com/product/isbn/9781584884170
| isbn = 978-1-58488-417-0}}

*{{cite book
| last = Rees 
| first = David
| title = Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 2006
| url = https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC
| isbn = 978-0-7506-8025-7}}

*{{cite book |first=T. W. |last=Wright |year=2002 |title=The Physics and Mathematics of Adiabatic Shear Bands |url=https://archive.org/details/physicsmathemati0000wrig |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK}}

==Vanjski linkovi==
*{{Commonscat|Continuum Mechanics}}{{Grane fizike}}{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Continuum Mechanics}}
[[Kategorija:Mehanika kontinuuma| Mehanika kontinuuma]]
[[Kategorija:Klasična mehanika]]