Izvorni kôd stranice Linearna algebra

[[Datoteka:Linear subspaces with shading.svg|thumb|250px|right|U trodimenzionalnom [[Euklidov prostor|Euklidovom prostoru]], ove tri ravni predstavljaju rješenja linearnih jednačina, a njigov presjek predstavlja skup zajedničkih rješenja: u ovom slučaju jedinstvenu tačku. Plava linija je zajedničko rješenje za dvije jednačine. ]]

'''Linearna algebra''' je grana [[matematika|matematike]] koja se bavi [[linearna jednačina|linearnim jednačinama]] kao što je: 
:<math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math>
[[linearno preslikavanje|linearnim preslikavanjen]] kao što je:
:<math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,</math>
i njihovim prikazom u [[vektorski prostor|vektorskim prostorima]] i uz pomoć [[matrica (matematika)|matrica]].<ref>{{Cite book| last1 = Banerjee | first1 = Sudipto | last2 = Roy | first2 = Anindya | date = 2014 | title = Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics | series = Texts in Statistical Science | publisher = Chapman and Hall/CRC | edition =  1st | isbn =  978-1420095388}}</ref><ref>{{Cite book|last=Strang|first=Gilbert|date=19. 7. 2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Brooks Cole|edition=4th|isbn=978-0-03-010567-8}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric|title=Linear Algebra|url=http://mathworld.wolfram.com/LinearAlgebra.html|work=[[MathWorld]]|publisher=Wolfram|access-date=16. 4. 2012}}</ref>

Linearna algebra je centralna u gotovo svim oblastima matematike. Na primjer, linearna algebra je fundamentalna u modernim prezentacijama [[geometrija|geometrije]], uključujući definisanje osnovnih objekata kao što su [[Prava (geometrija)|prave]], [[ravan|ravni]] i [[rotacija|rotacije]]. [[Funkcionalna analiza]], grana matematičke analize, također se može posmatrati kao primjena linearne algebre na [[Funkcijski prostor|prostore funkcija]].

Linearna algebra se također koristi u većini nauka i oblasti [[inženjerstvo|inženjerstva]], jer omogućava [[matematički model|modeliranje]] mnogih prirodnih fenomena i efikasno računanje s takvim modelima. Za [[nelinearni sistem|nelinearne sisteme]], koji ne mogu biti modelirani s linearnom algebrom, često se koristi za rad s [[Aproksimacija prvog reda|aproksimacijama prvog reda]], koristeći činjenicu da je [[diferencijal (matematika)|diferencijal]] [[multivarijantna funkcija|multivarijantne funkcije]] u tački linearno preslikavanje koje najbolje aproksimira tu funkciju u blizini te tačke.

==Historija==
Procedura (koristeći štapove za brojanje) za rješavanje simultanih linearnih jednačina koja se sada naziva [[Gaussova eliminacija]] pojavljuje se u drevnom kineskom matematičkom tekstu [[Rod calculus#System of linear equations|Osmo poglavlje: ''Pravokutni nizovi'']] iz ''[[Devet poglavlja o matematičkoj umjetnosti]]''. Njegova upotreba je ilustrovana u osamnaest zadataka, sa dvije do pet jednačina.<ref>{{Cite book|last=Hart|first=Roger|title=The Chinese Roots of Linear Algebra|publisher=[[JHU Press]]|year=2010|url=https://books.google.com/books?id=zLPm3xE2qWgC|isbn=9780801899584}}</ref>

[[Sistem linearnih jednačina|Sistemi linearnih jednačina]] nastali su u Evropi 1637. kada je [[René Descartes]] uveo [[Koordinatni sistem|koordinate]] u [[geometrija|geometriju]]. U stvari, u ovoj novoj geometriji koja se sada zove [[Descartesova geometrija]], prave i ravni su predstavljene linearnim jednačinama, a izračunavanje njihovih presjeka predstavlja rješavanje sistema linearnih jednačina.

Prve sistematske metode za rješavanje linearnih sistema koristile su [[Determinanta|determinante]] i prvi ih je razmatrao [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] u 1693. [[Gabriel Cramer]] ih je 1750. koristio za davanje eksplicitnih rješenja linearnih sistema, sada nazvanih [[Cramerovo pravilo]]. Kasnije je [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] dalje opisao metodu eliminacije, koja je u početku bila navedena kao napredak u [[Geodezija|geodeziji]].<ref name="Vitulli, Marie">{{Cite web|last=Vitulli|first=Marie|author-link= Marie A. Vitulli |title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|work=Department of Mathematics|publisher=University of Oregon|archive-url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|archive-date=10. 9. 2012| access-date=8. 7. 2014}}</ref>

[[Hermann Grassmann]] je 1844. objavio svoju "Teoriju ekstenzije" koja je uključivala temeljne nove teme onoga što se danas zove linearna algebra. [[James Joseph Sylvester]] je 1848. uveo termin ''matrica'', što je latinska riječ za ''matericu''.

Linearna algebra je rasla s idejama zabilježenim u [[Kompleksna ravan|kompleksnoj ravni]]. Na primjer, dva broja {{mvar|w}} i {{mvar|z}} u <math>\mathbb{C}</math> imaju razliku {{math|''w'' – ''z''}}, a segmenti pravih {{math|{{overline|''wz''}}}} i {{math|{{overline|0(''w'' − ''z'')}}}} su iste dužine i smjera. Segmenti su [[Ekvipolentnost (geometrija)|ekvipolentni]]. Četvorodimenzionalni sistem [[kvaternion]]a <math>\mathbb{H}</math> započet je 1843. Termin ''vektor'' je uveden kao {{math|'''v''' {{=}} ''x'''''i''' + ''y'''''j''' + ''z'''''k'''}} što predstavlja tačku u prostoru. Kvaterniona razlika {{math|''p'' – ''q''}} također proizvodi segment ekvipolentan {{math|{{overline|''pq''}}}}. Drugi [[Hiperkompleksni broj|hiperkompleksni brojevni sistemi]] su takođe koristili ideju o linearnom prostoru s [[Baza (linearna algebra)|bazom]].

[[Arthur Cayley]] je 1856. uveo [[množenje matrica]] i [[Inverzna matrica|inverznu matricu]], čime je omogućena [[opća linearna grupa]]. Mehanizam [[Grupna reprezentacija|grupne reprezentacije]] postao je dostupan za opisivanje kompleksnih i hiperkompleksnih brojeva. Velikog značaja je imalo to što je Cayley koristio jedno slovo da označi matricu, tretirajući je tako kao zbirni objekat. Također je shvatio vezu između matrica i determinanti, te je napisao: "Moglo bi se reći mnogo stvari o ovoj teoriji matrica koja bi, čini mi se, trebala prethoditi teoriji determinanti".<ref name="Vitulli, Marie"/>

[[Benjamin Peirce]] je objavio svoju ''Linearnu asocijativnu algebru'' (1872), a njegov sin [[Charles Sanders Peirce]] kasnije je proširio taj rad.<ref>[[Benjamin Peirce]] (1872) ''Linear Associative Algebra'', lithograph, new edition with corrections, notes, and an added 1875 paper by Peirce, plus notes by his son [[Charles Sanders Peirce]], published in the ''American Journal of Mathematics'' v. 4, 1881, Johns Hopkins University, pp.&nbsp;221–226, ''Google'' [https://books.google.com/books?id=LQgPAAAAIAAJ&pg=PA221 Eprint] and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, ''Google'' [https://archive.org/details/bub_gb_De0GAAAAYAAJ Eprint].</ref>

[[Telegraf]] je zahtijevao sistem objašnjenja, a publikacija ''[[Traktata o elektricitetu i magnetizmu]]'' iz 1873. uvela je [[Teorija polja|teoriju polja]] sila i zahtijevala je [[Diferencijalna geometrija|diferencijalnu geometriju]] za izražavanje. Linearna algebra je ravna diferencijalna geometrija i služi u tangentnim prostorima na [[mnogostrukost]]i. Elektromagnetske simetrije prostor-vremena izražene su [[Lorentzova transformacija|Lorentzovim transformacijama]], a veći dio historije linearne algebre je [[historija Lorentzovih transformacija]].

Prvu modernu i precizniju definiciju vektorskog prostora uveo je [[Giuseppe Peano|Peano]] 1888;<ref name="Vitulli, Marie"/> do 1900. pojavila se teorija linearnih transformacija konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora. Linearna algebra je dobila svoj savremeni oblik u prvoj polovini dvadesetog stoljeća, kada su mnoge ideje i metode iz prethodnih stoljeća generalizovane kao [[apstraktna algebra]]. Razvoj računara doveo je do povećanog istraživanja efikasnih [[algoritam]]a za Gaussovu eliminaciju i dokmpoziciu matrica, a linearna algebra je postala suštinski alat za modeliranje i simulacije.<ref name="Vitulli, Marie"/>

==Vektorski prostori==
{{glavni|Vektorski prostor}}
Sve do 19. stoljeća, linearna algebra se prvenstveno prikazivala kroz [[Sistem linearnih jednačina|sisteme linearnih jednačina]] i [[Matrica (matematika)|matrice]]. U modernoj matematici općenito se preferira prezentacija kroz ''vektorske prostore'', budući da je više [[Sintetička geometrija|sintetička]], opštija (nije ograničena na slučaj konačnih dimenzija) i konceptualno jednostavnija, iako apstraktnija.

Vektorski prostor nad [[Polje (matematika)|poljem]] {{math|''F''}} (često polje [[Realan broj|realnih brojeva]]) je [[Skup (matematika)|skup]] {{math|''V''}} opremljen s dvije [[Binarna operacija|binarne operacije]] koje zadovoljavaju sljedeće [[aksiom]]e. [[Element (matematika)|Elementi]] iz {{math|''V''}} nazivaju se ''vektori'', a elementi iz ''F'' nazivaju se ''skalarima''. Prva operacija, ''[[Euklidov vektor|sabiranje vektora]]'', uzima bilo koja dva vektora {{math|'''v'''}} i {{math|'''w'''}} i daje kao rezultat treći vektor {{math|'''v''' + '''w'''}}. Druga operacija, ''[[skalarno množenje]]'', uzima bilo koji skalar {{math|''a''}} i bilo koji vektor {{math|'''v'''}} i daje kao rezultat novi vektor {{nowrap|vector {{math|''a'''''v'''}}}}. Aksiomi koje sabiranje i skalarno množenje moraju zadovoljiti su sljedeći. (U spisku ispod, {{math|'''u''', '''v'''}} i {{math|'''w'''}} su proizvoljni elementi od {{math|''V''}}, a {{math|''a''}} i {{math|''b''}} su proizvoljni skalari u polju {{math|''F''}}{{math|''F''}}.)<ref>{{harvtxt|Roman|2005|loc=ch. 1, p. 27}}</ref>

:{| border="0" style="width:100%;"
|-
| '''Aksiom''' ||'''Značenje'''
|-
| [[Asocijativnost]] sabiranja || {{math|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Komutativnost]] sabiranja  || {{math|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}
|-
| [[Neutralni element]] sabiranja || Postoji element {{math|'''0'''}} u {{math|''V''}}, koji se naziva ''[[nulti vektor]]'' (ili jednostavno ''nula''), takav da je {{math|1='''v''' + '''0''' = '''v'''}} za sve {{math|'''v'''}} u {{math|''V''}}.
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Inverzni element]]i sabiranja || Za svako {{math|'''v'''}} u {{math|''V''}}, postoji element {{math|−'''v'''}} u {{math|''V''}}, koji se naziva ''[[zbirni inverz]]'' od {{math|'''v'''}}, takav da je {{math|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}
|-
| [[Distributivnost]] skalarnog množenja u odnosu na sabiranje vektora || {{math|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| Distributivnost skalarnog množenja u odnosu na sabiranje polja || {{math|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''}}
|-
| Kompatibilnost skalarnog množenja s množenjem polja || {{math|1=''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v'''}} {{efn|Ovaj aksiom ne potvrđuje asocijativnost operacije, pošto su u pitanju dvije operacije, skalarno množenje {{math|''b'''''v'''}}; i množenje polja: {{math|''ab''}}.}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| Neutralni element skalarnog množenja || {{math|1=1'''v''' = '''v'''}}, gdje {{math|1}} označava [[Neutralni element|multiplikacijski identitet]] od {{mvar|F}}.
|}

Prva četiri aksioma znače da je {{math|''V''}} [[abelova grupa]] pod sabiranjem.

Element određenog vektorskog prostora može imati različitu prirodu; na primjer, to može biti [[niz]], [[Funkcija (matematika)|funkcija]], [[polinom]] ili [[Matrica (matematika)|matrica]]. Linearna algebra se bavi onim svojstvima takvih objekata koja su zajednička svim vektorskim prostorima.

===Linearna preslikavanja===
{{glavni|Linearno preslikavanje}}
'''Linearna preslikavanja''' su [[Preslikavanje (matematika)|preslikavanja]] između vektorskih prostora koja zadržavaju strukturu vektorskog prostora. Za dva vektorska prostora {{math|''V''}} i {{math|''W''}} u polju {{mvar|F}}, linearno preslikavanje (također u određenim kontekstima nazvano linearna transformacija ili linearno mapiranje)

: <math> T:V\to W </math>

je kompatibilno sa sabiranjem i skalarnim množenjem

: <math> T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v) </math>

za bilo koje vektore {{math|'''u''','''v'''}} iz {{math|''V''}} i skalar {{math|''a''}} iz {{mvar|F}}.

Ovo implicira da za bilo koje vektore {{math|'''u''', '''v'''}} iz {{math|''V''}} i skalare {{math|''a'', ''b''}} iz {{mvar|F}} vrijedi

: <math>T(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v) </math>

Kada su {{math|1=''V'' = ''W''}} isti vektorski prostori, linearno preslikavanje {{math|''T'' : ''V'' → ''V''}} je također poznato i kao ''linearni operator'' na {{mvar|V}}.

[[Bijekcija|Bijektivno]] linearno preslikavanje između dva vektorska prostora (to jest, svaki vektor iz drugog prostora je pridružen tačno jednom vektoru iz prvog) je [[izomorfizam]]. Pošto izomorfizam zadržava linearnu strukturu, dva izomorfna vektorska prostora su "u suštini ista" s tačke gledišta linearne algebre, u smislu da se ne mogu razlikovati korištenjem svojstava vektorskog prostora. Bitno pitanje u linearnoj algebri je testiranje da li je linearno preslikavanje izomorfizam ili ne, i, ako nije izomorfizam, pronalaženje njegove [[Slika (matematika|slike]] (ili opsega) i skupa elemenata koji su preslikani u nulti vektor, koji se naziva [[Jezgro (linearni operator)|jezgro]] preslikavanja. Sva ova pitanja mogu se riješiti korištenjem [[Gaussova eliminacija|Gaussove eliminacije]] ili neke varijante ovog [[Algoritam|algoritma]].

===Podprostori, raspon i baza===
{{glavni|Linearni podprostor|Linearni raspon|Baza (linearna algebra)}}
Proučavanje podskupova vektorskih prostora koji su sami po sebi vektorski prostori pod indukovanim operacijama je fundamentalno, slično kao i za mnoge matematičke strukture. Ovi podskupovi se nazivaju [[linearni podprostor]]i. Preciznije, linearni podprostor vektorskog prostora {{mvar|V}} nad poljem {{mvar|F}} je [[podskup]] {{mvar|W}} od {{mvar|V}} takav da su {{math|'''u''' + '''v'''}} i {{math|''a'''''u'''}}, za svako {{Math|'''u'''}}, {{Math|'''v'''}} u {{mvar|W}} i svako {{mvar|a}} u {{mvar|F}}. (Ovi uslovi su dovoljni za impliciranje da je {{mvar|W}} vektorski prostor.)

Na primjer, ukoliko imamo linearno preslikavanje {{math|''T'' : ''V'' → ''W''}}, [[Slika (funkcija)|slika]] {{math|''T''(''V'')}} od {{mvar|V}} i [[inverzna slika]] {{math|''T''<sup>−1</sup>('''0''')}} (nazvana [[Jezgro (linearna algebra)|jezgro]] ili nulti prostor), predstavljaju linearne podprostore {{mvar|W}} i {{mvar|V}}.

Drugi važan način formiranja podprostora je razmatranje [[Linearna kombinacija|linearnih kombinacija]] skupa vektora {{mvar|S}}: skup svih zbirova
: <math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_k \mathbf v_k,</math>
gdje {{math|'''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''k''</sub>}} iz {{mvar|S}} i {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>}} iz {{mvar|F}} formiraju linearni podprostor koji se naziva [[Linearni raspon|raspon]] od {{mvar|S}}. Raspon od {{mvar|S}} je također presjek svih linearnih podprostora koji sadrže {{mvar|S}}. Drugim riječima, to je najmanji (za relaciju inkluzije) linearni podprostor koji sadrži {{mvar|S}}.

Skup vektora je [[Linearna nezavisnost|linearno nezavisan]] ako nijedan nije u rasponu od ostalih. Ekvivalentno tome, skup vektora {{mvar|S}} je linearno nezavisan ako je jedini način da se nulti vektor izrazi kao linearna kombinacija elemenata od {{mvar|S}} da se uzme nula za svaki koeficijent {{mvar|a<sub>i</sub>}}.

Skup vektora koji obuhvata vektorski prostor naziva se [[Linearni raspon|rasponski skup]] ili [[Genrator (matematika)|generirajući skup]]. Ako je rasponski skup {{mvar|S}} ''linearno ovisan'' (koji nije linearno nezavisan), tada je neki element {{Math|'''w'''}} od {{mvar|S}} u rasponu ostalih elemenata iz {{mvar|S}}, a raspon bi ostao isti ako se ukloni {{Math|'''w'''}} iz {{mvar|S}}. Može se nastaviti sa uklanjanjem elemenata iz {{mvar|S}} sve dok se ne dobije ''linearno nezavisan rasponski skup''. Takav linearno nezavisan skup koji obuhvata vektorski prostor {{mvar|V}} naziva se [[Baza (linearna algebra)|baza]] od {{math|''V''}}. Važnost baza leži u činjenici da su one istovremeno minimalni generirajući skupovi i maksimalni nezavisni skupovi. Preciznije, ako je {{mvar|S}} linearno nezavisan skup, a {{mvar|T}} rasponski skup takav da je {{math|''S'' ⊆ ''T''}}, onda postoji baza {{mvar|B}} takva da je {{math|''S'' ⊆ ''B'' ⊆ ''T''}}.

Bilo koje dvije baze vektorskog prostora {{math|''V''}} imaju istu [[kardinalnost]], koja se zove [[Dimenzija (vektorski prostor)|dimenzija]] od {{math|''V''}}; ovo je [[dimenzijska teorema za vektorske prostore]]. Štaviše, dva vektorska prostora nad istim poljem {{mvar|F}} su [[Izomorfizam|izomorfna]] ako i samo ako imaju istu dimenziju.<ref>{{Harvp|Axler|2015}} p. 82, §3.59</ref>

Ako bilo koja baza od {{math|''V''}} (a samim tim i svaka baza) ima konačan broj elemenata, {{math|''V''}} je ''konačno-dimenzionalni vektorski prostor''. Ako je {{math|''U''}} podprostor od {{math|''V''}}, onda je {{math|dim ''U'' ≤ dim ''V''}}. U slučaju kada je {{math|''V''}} konačno-dimenzionalan, jednakost dimenzija implicira da je {{math|1=''U'' = ''V''}}.

Ako su {{math|''U''<sub>1</sub>}} i {{math|''U''<sub>2</sub>}} podprostori od {{math|''V''}}, onda

:<math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2),</math>
gdje {{math|''U''<sub>1</sub> + ''U''<sub>2</sub>}} označava raspon od {{math|''U''<sub>1</sub> ∪ ''U''<sub>2</sub>}}.<ref>{{Harvp|Axler|2015}} p. 23, §1.45</ref>

==Matrice==
{{Glavni|Matrica (matematika)}}
Matrice dozvoljavaju eksplicitnu manipulaciju konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora i [[linearno preslikavanje|linearnih preslikavanja]]. Stoga je njihova teorija bitan dio linearne algebre.

Neka je {{mvar|V}} konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem {{math|''F''}} i neka je {{math|('''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''m''</sub>)}} baza od {{math|''V''}} (dakle, {{mvar|m}} je dimenzija od {{math|''V''}}). Po definiciji baze, preslikavanje
:<math>\begin{align}
(a_1, \ldots, a_m)&\mapsto a_1 \mathbf v_1+\cdots a_m \mathbf v_m\\
F^m &\to V
\end{align}</math>
je [[bijekcija]] od {{math|''F<sup>m</sup>''}}, skupa [[niz]]ova od {{mvar|m}} elemenata od {{mvar|F}}, na {{mvar|V}}. Ovo je [[izomorfizam]] vektorskih prostora, ako je {{math|''F<sup>m</sup>''}} opremljen svojom standardnom strukturom vektorskog prostora, gdje se sabiranje vektora i skalarno množenje obavljaju komponentu po komponentu.

Ovaj izomorfizam omogućava predstavljanje vektora njegovom [[Inverzna slika|inverznom slikom]] pod ovim izomorfizmom, odnosno [[Koordinatni vektor|koordinatnim vektorom]] {{math|(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>m</sub>'')}} ili [[Redni i kolonski vektori|kolonskom matricom]]
:<math>\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}.</math>

Ako je {{mvar|W}} još jedan konačno-dimenzionalni vektorski prostor (moguće isti), s bazom {{math|('''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>''n''</sub>)}}, linearno preslikavanje {{mvar|f}} od {{mvar|W}} na {{mvar|V}} je dobro definisano svojim vrijednostima na elementima baze, tj. {{math|(''f''('''w'''<sub>1</sub>), ..., ''f''('''w'''<sub>''n''</sub>))}}. Dakle, {{mvar|f}} je dobro predstavljen spiskom odgovarajućih kolonskih matrica. Odnosno, ako je
:<math>f(w_j)=a_{1,j}v_1 + \cdots+a_{m,j}v_m,</math> 
za {{math|1=''j'' = 1, ..., ''n''}}, tada je {{mvar|f}} predstavljeno matricom
:<math>\begin{bmatrix}
a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}
\end{bmatrix},</math>
sa {{mvar|m}} redova i {{mvar|n}} kolona.

[[Množenje matrice]] je definisano na način da je proizvod dvije matrice matrica [[Kompozicija funkcija|sastavljena]] od odgovarajućih linearnih preslikavanja, a proizvod matrice i kolonske matrice je kolonska matrica koja predstavlja rezultat primjene predstavljenog linearnog preslikavanja na predstavljeni vektor. Iz toga slijedi da su teorija konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora i teorija matrica dva različita jezika za izražavanje potpuno identičnih koncepata.

Dvije matrice koje kodiraju istu linearnu transformaciju u različitim bazama nazivaju se [[Sličnost matrica|sličnim]]. Može se dokazati da su dvije matrice slične ako i samo ako jedna može transformirati jednu u drugu pomoću [[Elementarna matrica|elementarnih operacija reda i kolona]]. Za matricu koja predstavlja linearno preslikavanje od {{mvar|W}} na {{mvar|V}}, operacije redova odgovaraju promjeni baza u {{mvar|V}}, a operacije kolona odgovaraju promjeni baza u {{mvar|W}}. Svaka matrica je slična [[Jedinična matrica|jediničnoj matrici]] koja je moguće omeđena redovima nula i kolonama nula. U smislu vektorskih prostora, to znači da za bilo koje linearno preslikavanje od {{mvar|W}} na {{mvar|V}} postoje baze takve da je dio baze od {{mvar|W}} preslikan bijektivno na dio baze od {{mvar|V}}, a da se preostali elementi baze od {{mvar|W}}, ako ih ima, preslikavaju na nulu. [[Gaussova eliminacija]] je osnovni algoritam za pronalaženje ovih elementarnih operacija i dokazivanje ovih rezultata.

==Linearni sistemi==
{{Glavni|Sistem linearnih jednačina}}
Konačan skup linearnih jednačina u konačnom skupu varijabli, na primjer, {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}}, ili {{math|''x'', ''y'', ..., ''z''}} naziva se '''sistem linearnih jednačina''' ili '''linearni sistem'''.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=2}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=65}}</ref><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=324}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=87}}</ref><ref>{{harvtxt|Harper|1976|p=57}}</ref>

Sistemi linearnih jednačina čine fundamentalni dio linearne algebre. Historijski gledano, linearna algebra i teorija matrica su razvijene za rješavanje takvih sistema. U modernoj prezentaciji linearne algebre kroz vektorske prostore i matrice, mnogi problemi se mogu tumačiti u pojmovima linearnih sistema.

Na primjer, neka je
{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S}}}}
linearni sistem.

Takav sistem se može napisati u obliku matrice 
:<math>M = \left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1\\
-3 & -1 & 2  \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right].
</math>
i vektora njegovih desnih članova
:<math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix}. </math>

Neka je {{mvar|T}} linearna transformacija matrice {{mvar|M}}. Rješenje sistema ({{EquationNote|S}}) je vektor 
:<math>\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}</math> 
tako da je 
:<math>T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},</math>
element [[preslikavanje (matematika)|predpreslikavanja]] vektora {{mvar|v}} od {{mvar|T}}.

Neka je ({{EquationNote|S′}}) [[Homogeni sistem linearnih jednačina|homogeni sistem]], gdje su desne strane jednačina jednake nuli:

{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& 0 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S′}}}}

Rješenja od ({{EquationNote|S′}}) su upravo elementi [[Jezgro (linearna algebra)|jezgra]] od {{mvar|T}} ili, ekvivalentno, {{mvar|M}}.

[[Gaussova eliminacija]] se sastoji od izvođenja [[Elementarna matrica|elementarnih operacija reda]] na [[Proširena matrica|proširenoj matrici]]
:<math>\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -1&8\\
-3 & -1 & 2&-11  \\
-2 & 1 & 2&-3
\end{array}\right]
</math>
kako bi se stavila u [[Forma ešalona reda|reduciranu formu ešalona reda]]. Ove operacije reda ne mijenjaju skup rješenja sistema jednačina. U primjeru, reducirana forma ešalona je 
:<math>\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0&2\\
0 & 1 & 0&3  \\
0 & 0 & 1&-1
\end{array}\right],
</math>
što pokazuje da sistem ({{EquationNote|S}}) ima jedinstveno rješenje
:<math>\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}</math>

Iz ove matrične interpretacije linearnih sistema proizilazi da se iste metode mogu primijeniti za rješavanje linearnih sistema i za mnoge operacije na matricama i linearnim transformacijama, koje uključuju izračunavanje [[Rang matrice|rangova]], [[Jezgro (linearna algebra)|jezgara]], [[Invertibilna matrica|inverza matrica]].

== Također pogledajte ==
* [[Linearno programiranje]]

== Bilješke ==
<references group="lower-alpha"/>

== Reference ==
{{Refspisak}}

== Vanjski linkovi ==
===Online resursi===
{{Commonscat|Linear algebra}}
* [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT - video predavanja o linearnoj algebri], serija od 34 snimljena predavanja profesora [[Gilbert Strang|Gilberta Stranga]] (proljeće 2010)
* [https://www.math.technion.ac.il/iic/ Međunarodna zajednica linearne algebre] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200705161054/https://www.math.technion.ac.il/iic/ |date=5. 7. 2020 }}
* {{Springer|title=Linear algebra|id=p/l059040}}
* [https://mathworld.wolfram.com/topics/LinearAlgebra.html Linearna algebra] na [[MathWorld]]u
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Pojmovi linearne algebre] na [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab Suština linearne algebre], video prezentacija [[3Blue1Brown]]-a o osnovama linearne algebre s naglaskom na vezu između geometrije, matrica i apstraktne tačke gledišta

===Online knjige===
* {{Cite book | author-surname=Beezer | author-given=Robert A. | title=A First Course in Linear Algebra | date=2009 | orig-date=2004 | url=http://linear.ups.edu | publisher=[[Univerzitet Press of Florida]] | location=[[Gainesville (Florida)]] | isbn=9781616100049 | lang=en }}
* {{Cite book | author-surname=Connell | author-given=Edwin H. | title=Elements of Abstract and Linear Algebra | date=2004 | orig-date=1999 | url=https://www.math.miami.edu/~ec/book/ | publisher=Self-published | location=[[Univerzitet Miami]], [[Coral Gables (Florida)]] | lang=en }}
* {{Cite book | author1-surname=Margalit | author1-given=Dan | author2-surname=Rabinoff | author2-given=Joseph | title=Interactive Linear Algebra | date=2019 | url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/ | publisher=Self-published | location=[[Tehnološki institut Georgia]], [[Atlanta]] | lang=en }}
* {{Cite book | author-surname=Matthews | author-given=Keith R. | url=http://www.numbertheory.org/book/ | title=Elementary Linear Algebra | date=2013 | orig-date=1991 | publisher=Self-published | location=[[Univerzitet Queensland]], [[Brisbane]], [[Australija]] | lang=en }}
* {{Cite book | author-surname=Mikaelian | author-given=Vahagn H. | url=https://www.researchgate.net/publication/318066716 | title=Linear Algebra: Theory and Algorithms | date=2020 | orig-date=2017 | publisher=Self-published | publication-place= [[Jerevan]], [[Armenija]] | lang=en | via=[[ResearchGate]] }}
* Sharipov, Ruslan, ''[https://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 Course of linear algebra and multidimensional geometry]''
* Treil, Sergei, ''[https://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html Linear Algebra Done Wrong]''

{{Linearna algebra}}
{{Oblasti matematike}}

[[Kategorija:Linearna algebra| ]]
[[Kategorija:Numerička analiza]]