Izvorni kôd stranice Kvadratni korijen iz 5

{| border="1" style="clear: right; float: right; border-collapse: collapse;"
| colspan="2" align="center" | [[Spisak brojeva]] - [[Iracionalan broj|Iracionalni brojevi]]<br />[[Apéryjeva konstanta|&zeta;(3)]] - <math>\sqrt{2}</math> - [[Zlatni rez|&phi;]] - [[Kvadratni korjen od 3|√3]] - [[Kvadratni korjen od 5|√5]] - [[Feigenbaumove konstante|&alpha;]] - [[E (broj)|e]] - [[Pi|&pi;]] - [[Feigenbaumove konstante|&delta;]]
|-
|[[Binarni numerički sistem|Binarni]]
| 10,0011110001101111...
|-
| [[Dekadni numerički sistem|Decimalni]]
| 2,23606797749978969...
|-
| [[Heksadecimalni numerički sistem]]
| 2,3C6EF372FE94F82C...
|-
| [[Neprekidni razlomak]]
| <math>2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}</math>
|}
'''Kvadratni korjen od 5''' je pozitivni [[realan broj]] koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje prosti broj [[5 (broj)|5]]. Ovaj broj pojavljuje se u formuli za [[zlatni rez]]. Može se označiti u [[nti korjen#Rad sa iracionalnim brojevima|iracionalnom]] obliku kao:

:<math>\sqrt{5}. \, </math>

On je [[iracionalan broj|iracionalni]] [[algebarski broj]].<ref>Dauben, Joseph W. (June 1983) [[Scientific American]] ''Georg Cantor and the origins of transfinite set theory.'' Volume 248; Page 122.</ref> Prvih šezdeset značajnih decimala njegovog [[decimalno proširenje|decimalnog proširenja]] su:

:2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... {{OEIS|id=A002163}}

što se može zaokružiti na 2,236 sa tačnošću od 99,99%. Od aprila 1994. godine, njegova numerička vrijednost u decimalama izračunata je na najmanje jedan milion decimala.<ref>R. Nemiroff and J. Bonnell: ''[http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt5.1mil Prvih milion decimala kvadratnog korjena od 5]''</ref>

== Neprekidni razlomak ==

Ovaj broj može se izraziti kao [[neprekidni razlomak]] [2; 4, 4, 4, 4, 4...] {{OEIS|id=A040002}}. Niz [[Neprekidni razlomak#Najbolje racionalne aproksimacije|najboljih racionalnih aproksimacija]] je:

:<math>{\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots</math>

[[Konvergent (neprekidni razlomak)|Konvergenti]] neprekidnog razlomka napisani su u boji; njihovi brojnici predstavljaju niz {{OEIS url|id=A001077}}, a njihovi nazivnici niz {{OEIS url|id=A001076}}. Ostali (neobojeni) članovi su [[neprekidni razlomak#Polukonvergenti|polukonvergenti]].

== Babilonski metod==

Kada se <math>\sqrt{5}</math> izračnava preko [[Metodi izračunavanja kvadratnih korjena#Babilonski metod|Babilonskog metoda]], počevši od ''r''<sub>0</sub> = 2, te koristeći ''r''<sub>''n''+1</sub> = (''r''<sub>''n''</sub>&nbsp;+&nbsp;5/''r''<sub>''n''</sub>)&nbsp;/&nbsp;2, ''n''-ti aproksimant ''r''<sub>''n''</sub> jednak je 2<sup>''n''</sup>-tom konvergentu konvergentnog niza:

:<math>\frac{2}{1} = 2,0;\quad \frac{9}{4} = 2,25;\quad \frac{161}{72} = 2,23611\dots;\quad \frac{51841}{23184} = 2,2360679779 \ldots</math>

== Ramanujanovi identiteti ==

Kvadratni korjen od 5 pojavljuje se u raznim identitetima [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujana]], uključujući [[neprekidni razlomak|neprekidne razlomke]].<ref>{{Citation | last1=Ramanathan | first1=K. G. | title=On the Rogers-Ramanujan continued fraction | id={{MathSciNet | id = 813071}} | year=1984 | journal=Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences | issn=0253-4142 | volume=93 | issue=2 | pages=67--77 | doi=10.1007/BF02840651}}</ref><ref>{{Citation | url=http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html | author=Eric W. Weisstein | title=Ramanujan Continued Fractions}} at [[MathWorld]]</ref>

Na primjer, imamo slučaj [[Rogers–Ramanujanov neprekidni razlomak|Rogers–Ramanujanovog neprekidnog razlomka]]:

:<math>
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).
</math>



:<math>
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}}
= \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{3/4}(\varphi - 1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi \right)e^{2\pi/\sqrt{5}}.
</math>



:<math>
4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx
= \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.
</math>


== Također pogledajte ==

*[[Zlatni rez]]
*[[Kvadratni korjen]]
*[[Kvadratni korjen od 2]]
*[[Kvadratni korjen od 3]]

== Reference ==
{{refspisak}}

[[Kategorija:Matematičke konstante]]
[[Kategorija:Iracionalni brojevi]]
[[Kategorija:Algebarski brojevi]]