Izvorni kôd stranice Imaginarna jedinica

[[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right]]''Imaginarna jedinica''' se označava sa i. Ona dozvoljava da se sistem [[Realan broj|realnih brojeva]] proširi na sistem [[Kompleksni brojevi|kompleksnih brojeva,]]   Precizna definicija je zavisna od određenog metoda proširenja.

Osnovna motivacija za ovo proširenje je činjenica da postoje polinomijalne jednačine sa realnim koeficijentima  koje nemaju rješenja sa realnim brojevima. Konkretnije, [[Jednačine|jednačina]]  nema realnih rješenja. Ako bismo dozvolili kompleksne brojeve kao rješenja, onda bi ''svaka'' polinomijalna jednačina nenultog stepena  imala rešenje.

Imaginarna jedinica se ponekad naziva i „kvadratni korjen od minus jedan“, ali pogledajte ispod teškoće koje može prouzrokovati naivno iskorišćavanje ove ideje.

== Definicija ==
Po [[Definicija|definiciji,]] imaginarna jedinica <math>i</math> je jedno od rješenja (drugo rješenje je <math>-i</math> ) kvadratne jednačine
: <math>x^2+1=0</math>
ili, ekvivalentno
: <math>x^2=-1</math>
Pošto nema realnih brojeva kojima se dobija negativan broj kada se kvadriraju, mi ''imaginarno'' zamišljamo takav broj i dodeljujemo mu simbol  <math>i</math>. Važno je shvatiti da je <math>i</math>   validna matematička konstrukcija, isto kao i realni brojevi, iako to nije odmah intuitivno jasno i iako mu samo ime ne sugeriše to.

Operacije nad realnim brojevima se mogu proširiti na imaginarne i kompleksne brojeve smatrajući <math>i</math>  nepoznatom u radu sa izrazom, a onda koristeći definiciju da se zamijeni svako pojavljivanje <math>i^2</math>  sa <math> -1</math>. Stepeni broja  veći od dva se takođe zamjenjuju sa <math>-i</math>, <math>1,</math> <math>i</math> ili <math>-1</math>

: <math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,</math>
: <math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,</math>
: <math>i^5 = i^4 i = (1) i = i. \,</math>

== ''i'' i −''i'' ==
Pošto je jednačina koja definiše imaginarnu jedinicu <math>x^2+1 = 0</math> jednačina drugog reda bez realnih rješenja, ona mora da ima dva rješenja koja su oba ispravna i koja su suprotnih znakova i recipročna su. Preciznije, kada smo fiksirali jedno rješenje jednačine , vrijednosti <math>i</math> i  <math>-i</math>(koja nije jednaka <math>i</math>) je takođe rješenje. Pošto je ova jednačina jedina definicija broja , djeluje da ova definicija nije dobro definisana jer su <math>i</math>  i <math>- i</math> dobri kandidati za vrednost imaginarne jedinice pošto među njima nema kvalitativnih razlika (što se ne može reći za <math>-1</math> i <math>+1</math>). Ipak, ukoliko usvojimo jedno od ovih rešenja za „pozitivno ", ovakvih problema nema. Čak i kada bi se u svim matematičkim knjigama zamijenili svako pojavljivanje + sa − (a time i svako pojavljivanje − sa −(−) = +), sve teoreme bi važile i dalje. Dakle, razlika između dva korijena   jednačine , od kojih je jedan „pozitivan“, a drugi „negativan“ je čisto notaciona zaostavština; nijedan od njih nije fundamentalno važniji od drugog.

Sličan problem se javlja i kada kompleksne brojeve predstavljamo kao 2 × 2 realne matrice, jer su onda i
:: <math>X = \begin{pmatrix}
  0 &     -1  \\
  1 & \;\; 0  
  \end{pmatrix}</math>
kao i
: <math>X = \begin{pmatrix}
   0 &      1  \\
  -1 & \;\; 0  
  \end{pmatrix}
</math>
rješenja matrične jednačine
: <math> X^2 = -I. \ </math>

U ovom slučaju, neslaganje nastaje od geometrijskog izbora na koju stranu oko jediničnog kruga je „pozitivna“ rotacija. Preciznije objašnjenje je da automorfna grupa specijalne ortogonalne grupe SO (2, '''R''') ima tačno 2 elementa – identitet i automorfizam koji dijele smjer „u smjeru kretanja kazaljke na satu“ i smjer „suprotno od smjera kretanja kazaljke na satu“. Vidjeti ortogonalne grupe.

Sva ova neslaganja se mogu riješiti usvajanjem rigoroznije definicije kompleksnih brojeva kroz polje kompleksnih brojeva i eksplicitnije odabiranje jednog od rješenja gore pomenute jednačine da bude imaginarna jedinica.

Primjer je uređen par (0, 1), u uobičajenoj predstavi kompleksnih brojeva, kao dvodimenzionalni vektor.

== Pravilna upotreba ==
maginarna jedinica se ponekad piše kao <math>\sqrt {-1}</math> u naprednijim matematičkim kontekstima. Ipak, dosta se pažnje treba posvetiti kada se radi sa formulama koje uključuju i N-te korijene. Ovakva notacija je rezervisana ili za glavnu funkciju kvadratnog korijena, koja je definisana samo za realne brojeve x ≥ 0, ili za generalni kvadratni korijen nad kompleksnim brojevima. Ako se pokuša primjena pravila koja važe za kvadratni korijen nad realnim brojevima da bi se manipulisalo formulama u kojima se radi sa kvadratnim korijenima nad kompleksnim brojevima, dobiće se pogrešni rezultati:

: <math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;''(netačno)''.

Ako se pokuša ponovo ova računica, ali ako vodimo računa da korijen može biti i pozitivan i negativan, dobićemo dvosmislen rezulta

: <math>-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;''(dvosmisleno)''.

Pravilo u računanju
: <math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}</math>

važi samo za realne, nenegativne vrijednosti <math>a</math> i  <math>b</math>.<ref>[https://books.google.ba/books?id=PflwJdPhBlEC&redir_esc=y <nowiki>The Story of "i" [the square root of minus one]</nowiki>]</ref>

Da bi se izbjegle ovakve greške kada se radi sa kompleksnim brojevima, pravilo je da se nikad ne koristi negativni broj pod korjenom. Na primjer, umjesto da se piše izraz <math>\sqrt {-7}</math>, može se napisati <math>i\sqrt {7}</math> umjesto njega. Ovo je upotreba za koju je imaginarna jedinica i smišljena.

== Kvadratni korijen imaginarne jedinice ==

Pri prvom susretanju sa imaginarnom jedinicom, desi se da se pomisli da još jedan skup imaginarnih brojeva mora biti izmišljen da bi se izračunao kvadratni korjen od <math>i</math>. Ipak, ovo nije potrebno jer se on može izraziti kao bilo koji od sljedeća dva kompleksna broja.<ref>'''[http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html Question Corner and Discussion Area]'''</ref>

<math> \pm \sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). </math>

Lako se pokazuje da su ovo korijeni imaginarne jedinice, kvadriranje desne strane daje:

{|
|<math>\left(\pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ </math>
|<math>= \left(\pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad  (i^2 = -1) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (2i) \ </math>
|-
|
|<math>= i. \ </math>
|}

== Recipročna vrijednost broja <math>i</math> ==

Recipročna vrijednost imaginarne jedinice se lako nalazi:

<math>\frac{1}{i} \;=\; \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \;=\; \frac{i}{i^2} \;=\; \frac{i}{-1} \;=\; -i</math>.

== Stepeni broja <math>i</math> ==

: <math>\ldots</math>
: <math>i^{-3} = i\,</math>
: <math>i^{-2} = -1\,</math>
: <math>i^{-1} = -i\,</math>
: <math>i^0 = 1\,</math>
: <math>i^1 = i\,</math>
: <math>i^2 = -1\,</math>
: <math>i^3 = -i\,</math>
: <math>i^4 = 1\,</math>
: <math>\ldots</math>
: <math>i^{4n} = 1\,</math>
: <math>i^{4n+1} = i\,</math>
: <math>i^{4n+2} = -1\,</math>
: <math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>

== Eulerova formula==
[[Eulerova formula]] glasi

: <math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,</math> ,

za x realan broj. Ova formula se može analitički proširiti za kompleksne vrijednosti broja x.

Zamjenom <math>x = \pi </math> imamo
: <math>e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i0 \,</math>

: <math>e^{i\pi} + 1 = 0.\,</math> [[Ojlerov identitet]]

Ova jednačina spaja 5 najznačajnijih matematičkih veličina (0, 1, π, e, i i) osnovnim operacijama sabiranja, množenja i stepenovanja.

=== Primjer ===
Zamjenom <math>x = \pi/2 - 2N\pi,</math> za ''-{N}-'' cio broj imamo
: <math>e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i.\,</math>

stepenovanjem <math>i</math>,

: <math>e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,</math>

ili

: <math>e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,</math>,
: <math>i^i\,</math> ima beskonačno mnogo elemenata oblika
: <math>i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,</math>

gdje je N bilo koji [[Cijeli broj|cio broj]]. Ova vrijednost, iako realna, nije jedinstveno određena. Razlog je što je [[funkcija]] kompleksnog [[Logaritam|logaritma]] funkcija sa više rješenja.

Uzimajući N = 0 pruža nam glavnu vrijednost
: <math>i^i = e^{-\pi/2} = .207879576....\,</math>

== Operacije sa brojem <math>i</math>  ==
: <math> \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)).</math>
: <math> \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).</math>
: <math> \log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.</math>
: <math> \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.</math>
: <math> \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.</math>

{{Commonscat|Complex numbers}}

[[Kategorija:Kompleksni brojevi]]
[[Kategorija:Algebarski brojevi]]
[[Kategorija:Kvadratni iracionalni brojevi]]
[[Kategorija:Matematičke konstante]]