Izvorni kôd stranice Hagen–Poiseuilleova jednačina

{{Mehanika kontinuuma}}
'''Hagen–Poiseuilleova jednačina''' je [[fizikalni zakon]] koji opisuje sporo [[viskoznost|viskozno]] [[nestišljivo strujanje]] kroz konstantni kružni poprečni presjek. Poznat je i kao '''Hagen–Poiseuilleov zakon''', '''Poiseuilleov zakon''' i '''Poiseuilleov jednačina.''' Nazvana je po njemačkom inženjeru i fizičaru [[Gotthilf Hagen|Gotthilfu Hagenu]] i francuskom fizičaru i fiziologu [[Jean-Léonard-Marie Poiseuille|Jean-Léonard-Marieju Poiseuilleu]].

== Jednačina ==

=== Standardno označavanje u dinamici fluida ===

U standrardnom označavanju u dinamici fluida:

:<math> \Delta P = \frac{8 \mu L Q}{ \pi r^4} </math>

ili

:<math> \Delta P = \frac{128 \mu L Q}{ \pi d^4}</math>

gdje je

:<math>\Delta P </math> pad pritiska
:L dužina cijevi
:<math> \mu </math> [[viskoznost#dinamička viskoznost|dinamička viskoznost]]
:Q is the [[zapreminski protok]]
:r is the [[radijus]]
:d is the [[dijametar]]
:[[pi|<math> \pi </math>]] matematička konstanta [[pi]] (približno 3,141592654).

=== Fizikalno označavanje ===

:<math> \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \left( \frac{- \Delta P}{\Delta x}\right) = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{ |\Delta P|}{L} </math>

gdje je:

:''V'' zapremina tečnosti koja protiče (kumbi metar)
:''t'' vrijeme (sekunda)
:''v'' srednja [[brzina]] fluida uzduž cijevi (metar/sekunda)
:''x'' udaljenost u pravcu strujanja (metar)
:''R'' unutrašnji radijus cijevi (metar)
:''ΔP'' razlika u pritisku između dva kraja ([[paskal (jedinica)|paskal]])
:''η'' je dinamička [[viskoznost]] fluida ([[paskal (jedinica)|paskal]]-[[sekunda]] (Pa·s)), 
:''L'' ukupna dužina cijevi u ''x'' pravcu (metar).

== Veza sa Darcy–Weisbachom ==

Ovaj rezultat je, također, rješene fenomenološke [[Darcy–Weisbachova jednačina|Darcy–Weisbachove jednačine]] u oblasti [[hidraulika|hidraulike]], dajući odnos koeficijenta trenja preko Reynoldsovog broja:

:<math> \Lambda = {64\over {\it Re}} \; , \quad\quad Re = {2\rho v r\over \eta} \; , </math>

gdje je ''Re'' [[Reynoldsov broj]], a ''ρ'' je gustoća fluida. U ovom obliku, zakon aproksimira ''[[Darcy–Weisbachova jednačina|Darcyjev koeficijent trenja]]'', ''koeficijent gubitka energije'', ''koeficijent gubitka trenja'' ili ''Darcyjev koeficijent'' Λ u laminarnom strujanju pri niskim brzinama u cilindričnoj cijevi. Teoretsku derivaciju blago izmijenjenog oblika ovog zakon nezavisno su napravili Wiedman [[1856]]. i Neumann i E. Hagenbach [[1858]]. godine ([[1859]]. i [[1860]]. godine). Hagenbach je bio prvi koji je nazvao ovaj zakon Poiseuilleovim zakonom.

Ovaj zakon posebno je važan u [[hemodinamika|hemodinamici]], jednoj od podoblasti [[fiziologija|fiziologije]].<ref>[http://www.cvphysiology.com/Hemodynamics/H003.htm Determinants of blood vessel resistance]</ref>

Poiseuilleov zakon je kasnije, [[1891]]. godine, proširen i na [[turbulentno strujanje]] od strane L. R. Wilberforcea, čiji je rad osnovan na Hagenbachovom radu.

== Derivacija ==
{{glavni|Hagen-Poiseuilleovo strujanje iz Navier-Stokesovih jednačina}}

Hagen–Poiseuilleova jednačina može se dobiti iz [[Navier–Stokesove jednačine|Navier–Stokesovih jednačina]].

== Analogija sa [[električne mreže|električnim krugovima]] ==	

Elektricitet je najprije shvaćen kao neka vrsta fluida. Ova [[hidraulička analogija]] je još uvijek konceptualno korisna.

Poiseuilleov zakon odgovara [[Ohmov zakon|Ohmovom zakonu]] za električne krugove (''U'' = ''IR''), gdje je pad pritiska Δ''P '' analogan sa [[naponom]] ''U'', a zapreminski protok Φ je analogan [[električna struja|struji]] ''I''. Tada je [[električni otpor|otpor]]
 
:<math>R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4}</math>

Ovaj koncept je koristan jer je efektivni otpor u cijevi obrnuto proporcionalan četvrtom stepenu radijusa. Ovo znači da ako prepolovimo veličinu cijevi, otpor kretanju fluida povećat će se 16 puta.

I Ohmov i Poiseuilleov zakon ilustruju [[transportni fenomen]].

== Reference ==

* S. P. Sutera, R. Skalak, "The history of Poiseuille's law," ''Annual Review of Fluid Mechanics'', Vol. 25, 1993, pp.&nbsp;1–19
* {{Citation
|id = [[PMID]]:779509
|url= http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/779509
|last=Pfitzner
|first=J
|publication-date= mart 1976
|year=1976
|title=Poiseuille and his law.
|volume=31
|issue=2
|periodical=Anaesthesia
|pages=273-5
}}

{{reference}}

== Također pogledajte ==

* [[Darcyjev zakon]]
* [[Puls]]
* [[Talas]]

== Vanjski linkovi ==
{{Commonscat|Hagen-Poiseuille equation}}
* [http://www.syvum.com/cgi/online/serve.cgi/eng/fluid/fluid802.html Poiseuille's law for power-law non-Newtonian fluid]
* [http://www.syvum.com/cgi/online/serve.cgi/eng/fluid/fluid203.html Poiseuille's law in a slightly tapered tube]
* [http://www.calctool.org/CALC/eng/fluid/hagen-poiseuille Web-based calculator of the Hagen-Poiseuille equation]

[[Kategorija:Dinamika fluida]]