Izvorni kôd stranice Fourierov red

{{Fourierove transformacije}}
U [[matematika|matematici]], '''Fourierov red''' rastavlja periodičnu funkciju u sumu jednostavnih oscilatornih funkcija, to jest, u [[sinusoida|sinuse i kosinuse]]. Proučavanje Fourierovih redova je grana [[Fourierova analiza|Fourierove analize]]. Fourierove redove uveo je [[Joseph Fourier]] (1768–1830) u svrhu rješavanja [[toplotna jednačina|toplotne jednačine]] u metalnoj ploči. Ovo je dovelo do revolucije u matematici, tjerajući matematičare da preispitaju temelje matematike, što je dovelo do mnogih modernih teorija, kao što je [[Lebesgueova integracija]].

Toplotna jednačina je [[parcijalna diferencijalna jednačina]]. Prije Fourierovog rada, nije postojalo poznato rješenje toplotne jednačine u općem slučaju, iako su pojedinačna rješenja bila poznata ako se izvor toplote ponašao na jednostavan način, naprimjer, ako je toplotni izvor bio [[sinus]]ni ili [[kosinus]]ni talas. Ove jednostavne situacije se sad ponekad nazivaju [[sopstvena vrijednost, vektor i prostor|sopstvena rješenja]]. Fourierova ideja je bila da se uzme komplikovani izvor toplote kao superpozicija (ili [[linearna kombinacija]]) jednostavnih sinusnih i kosinusnih talasa, te da se rješenja napiše kao superpozicija odgovarajućih sopstvenih rješenja. Ovaj superpozicija ili linearna kombinacije naziva se Fourierov red.

Iako je prvobitna motivacija bila riješiti toplotnu jednačinu, kasnije je postalo očito da ista tehnika može biti primijenjena na širok spektar matematičkih i fizičkih problema. Osnovne rezultate lahko je razumijeti koristeći se modernom teorijom.

Fourierovi redovi imaju mnogo primijena u [[elektrotehnika|elektrotehnici]], [[oscilovanje|analizi vibracija]], [[akustika|akustici]], [[optika|optici]], [[procesuiranje signala|procesuiranju signala]], [[procesuiranje slike|procesuiranju slika]], [[kvantna mehanika|kvantnoj mehanici]], i tako dalje.

== Historijski razvoj ==

[[Datoteka:Fourier2.jpg|mini|200px|desno|[[Joseph Fourier]] otpočeo je proučavanje Fourierovih redova kako bi riješio [[toplotna jednačina|toplotnu jednačinu]].]]

Fourierov red dobio je naziv u čast [[Joseph Fourier|Josepha Fouriera]] (1768-1830), koji je dao važan doprinos proučavanju trigonometrijskih redova, nakon početnih proučavanja od strane [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]], [[Jean le Rond d'Alembert|Jeana le Rond d'Alemberta]] i [[Daniel Bernoulli|Daniela Bernoullija]]. Ovu je tehniku primijenio je kako bi pronašao rješenje [[toplotna jednačina|toplotne jednačine]], a svoje početne rezultate objavio je [https://web.archive.org/web/20081206014221/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_FOURIER__2 1807.] i [[1811]]. godine, dok je ''Théorie analytique de la chaleur'' objavio [[1822]]. godine.

Sa modernog stajališta, Fourierovi rezultati su, na neki način, neformalni, zbog nepreciznog označavanja ''[[funkcija (matematika)|funkcije]]'' i ''[[integral]]a'' u ranom [[19. vijek]]u. Kasnije, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] i [[Bernhard Riemann|Riemann]] izrazili su Fourierove rezultate sa većom preciznošću i formalnošću.

=== Revolucionarni članak ===

{{citat3|<math>\varphi(y)=a\cos\frac{\pi y}{2}+a'\cos 3\frac{\pi y}{2}+a''\cos5\frac{\pi y}{2}+\cdots.</math>

Množeći obe strane sa <math>\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}</math>, a zatim ih integrisati u granicama od <math>y=-1</math> do <math>y=+1</math>, daje nam:

<math>a_i=\int_{-1}^1\varphi(y)\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}\,dy.</math>

|30px|30px|Joseph Fourier|Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, pp. 218--219.<ref>[http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=03370&E=00000220&N=7 Gallica - Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1768-1830). Oeuvres de Fourier. 1888]{{Mrtav link}}</ref>}}

U ovih nekoliko linija, koje su jako bliske modernom formalizmu koristenom kod Fourierovih redova, Fourier je nenamjerno doveo do revolucije u matematici i fizici. Iako je slične trigonometrijske redove prethodno koristio Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli i [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], Fourier je vjerovao da takvi trigonometrijski redovi mogu predstavljati ''proizvoljne'' funkcije. Iako ovo nije tačno, pokušaji tokom mnogo godina kako bi se ova ideja klasifikovala dovelo je do važnih otkrića u teorijama [[konvergencija|konvergencije]], [[funkcionalni prostor|funkcionalnih prostora]] i [[harmonijska analiza|harmonijske analize]].

Kada je Fourier objavio svoj rad [[1807]]. godine, komitet (kojeg su, između ostalih, činili ne manje značajniji matematičari od [[Joseph Louis Lagrange|Lagrangea]], [[Pierre-Simon Laplace|Laplacea]], [[Etienne-Louis Malus|Malusa]] i [[Adrien-Marie Legendre|Legendrea]]) jeste zaključio: ''...način na koji autor stiže do ovih jednačina nije oslobođen od poteškoća i [...]  njegova analiza da ih integriše još uvijek ostavlja nešto što bi bilo traženo kao rezultat većine, pa čak i strogost''.

=== Rođenje harmonijske analize ===

Od Fourierovog vremena, otkriveni su mnogi različiti pristupi kako de se definisao i razumio koncept Fourierovih redova, gdje su svi dosljedni jedni drugima, ali gdje svaki naglašava različite aspekte ove tematike. Neke od moćnijih i elegantnijih prostupa su bazirane na matematičkih idejama i alatima koji nisu bili dostupni u vrijeme kada je Fourier završio svoj originalni rad. Fourier je, originalno, definisao Fourierov red za funkcije realne vrijednosti realnih argumenata, te je koristio sinusne i kosinusne funkcije kao [[baza (linearna algebra)|bazni skup]] za razvijanje.

Od tada su definisane mnoge druge [[Spisak transformacija vezanih za Fouriera|transformacije vezane za Fouriera]], proširujući početnu ideju na druge primjene. Ovo opće područje ispitivanja se sada, ponekad, naziva [[harmonijska analiza]]. Fourierovi se redovi, međutim, mogu koristiti samo za periodične signale.

== Definicija ==

U ovom dijelu, ''ƒ''(''x'') označava funkciju realne varijable ''x''. Ova se funkcija, obično, uzima kao [[Periodična funkcija|periodična]] sa periodom od 2π, što znači da vrijedi ''ƒ''(''x''&nbsp;+&nbsp;2''π'') = ''ƒ''(''x''), za sve realne brojeve ''x''. Pokušat ćemo napisati takvu funkciju u vidu beskonačne sume, ili [[red (matematika)|reda]] jednostavnijih funkcija. Počet ćemo koristeći beskonačnu sumu [[sinus]]nih i [[kosinus]]nih funkcija na intervelu [−''π'',&nbsp;''π''], kao što je i sam Fourier radio (pogledajte citat iznad), a zatim ćemo diskutovati različite formulacije i generalizacije.

=== Fourierova formula za 2''π''-periodične funkcije koristeći se sinusima i kosinusima ===

Za 2''π''-periodičnu funkciju ''ƒ''(x) koja nije integrabilna na intervalu [−''π'',&nbsp;''π''], brojevi

:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx</math>

i

:<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx</math>

se nazivaju Fourierovim koeficijentima od ''ƒ''. [[red (matematika)|Beskonačna suma]]

:<math>\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]</math>

je '''Fourierov red''' od funkcije ''ƒ'' na intervalu [−''π'',&nbsp;''π''].

Fourierov red ne konvergira uvijek, a čak i kada konvergira, vrijednost reda može se razlikovati od vrijednosti funkcije. Jedno od glavnih pitanja u [[harmonijska analiza|harmonijskoj analizi]] je da se odredi kada red konvergira, a kada je jednak originalnoj funkciji. Ako je funkcija [[Integrabilna funkcija#Kvadrat integrabilna funkcija|kvadrat integrabilna funkcija]] na intevalu [−''π'',&nbsp;''π''], tada Fourierov red konvergira u funkciju u ''[[skoro svaki|skoro svakoj]]'' tački. U [[inženjerstvo|inženjerskim]] primjenama, za Fourierov red se, u općem slučaju, pretpostavlja da konvergira svuda osim u tačkama prekida, pošto se funkcije, na koje nailazimo u inženjerstvu, bolje ponašaju od onih koje matematičari mogu dati kao kontra-primjere za ovu pretpostavku. Pojedinačno, Fourierov red konvergira apsolutno i uniformno u ''ƒ''(x) kad god je derivacija od ''ƒ''(x) (koja ne mora postajati svuda) kvanrat integrabilna.<ref>{{cite book | title = Fourier Series | author = Georgi P. Tolstov | publisher = Courier-Dover | year=1976 | isbn = 0486633179 | url = http://books.google.com/books?id=XqqNDQeLfAkC&pg=PA82&dq=fourier-series+converges+continuous-function&ei=L0rJSMvANIPsswOs-pzXDA&sig=ACfU3U3teR3Wwlu7HYq_qHV4QZqj6sYP5A }}</ref> Pogledajte članal: [[Konvergencija Fourierovog reda]].

Moguće je definisati Fourierove koeficijente za općenitije funkcije ili raspodjele, gdje, u takvim slučajevima, imamo interes za određivanjem konvergencije, po pravilu [[Slaba konvergencija (Hilbertov prostor)|slabe konvergencije]].

=== Primjer: jednostavan Fourierov red ===

[[Datoteka:Periodic identity.png|mini|desno|Grafički prikaz funkcije periodičnog identiteta - [[testersati talas]].]]
[[Datoteka:Periodic identity function.gif|mini|desno|400px|Animirani grafički prikaz prvih pet uzastopnih parcijalnih Fourierovih redova.]]

Sada koristimo formule, date u odjeljku iznad, kako bi jednu jednostavnu funkciju rzvili u Fourierov red. Uzmino jednu testerastu funkciju (pogledajte sliku)''':'''

:<math>f(x) = x, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,</math>
:<math>f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{za } -\infty < x < \infty.</math>

U ovom slučaju, Fourierovi koeficijenti su dati kao

:<math>\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = 2\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\end{align}</math>

A odatle imamo''':'''

{{NumBlk|:
|<math>
\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{za } \quad -\infty < x < \infty .
\end{align}
</math>
|{{EquationRef|Jdn.1}}}}

Može se primijetiti da funkcija razvijena u Fourierov red izgleda mnogo manje jednostavna od formule ''ƒ''(''x'') = ''x'', te nije odmah očito zašto si nam bio potreban ovaj Fourierov red. Dok postoje mnoge primjene, naglasit ćemo Fourierovu motivaciju da riješi toplotnu jednačinu. Naprimjer, zamislite metalnu ploču u obliku kvadrata čija je stranica ''π'' metara, sa koordinatama (''x'',&nbsp;''y'') ∈ [0,&nbsp;''π'']&nbsp;×&nbsp;[0,&nbsp;''π'']. Ako ne postoji izvor toplote unutar ploče, i ako se tri od četiri stranice drže na 0 stepeni [[celzijus]]a, dok se četvrta stranica, data sa ''y'' = π, drži na temperaturnom gradijentu ''T''(''x'',&nbsp;''π'') = ''x'' stepeni celzijusa,  za ''x'' u (0,&nbsp;''π''), tada možemo pokazati da je stacionarna raspodjela toplote (ili raspodjela toplote nakon dugog perioda vremena) data sa

: <math>T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.</math>

Ovdje, sinh je funkcija [[hiperbolička funkcija|hiperbolički sinus]]. Ovo rješenje toplotne jednačine dobijeno je množenjem svakog člana sa od &nbsp;{{EquationNote|Jdn.1}} sa sinh(''ny'')/sinh(''n''π). Dok se za funkciju iz našeg primjera ''f''(''x'') čini da ima bespotrebno komplikovan Fourierov red, raspodjela toplote ''T''(''x'',&nbsp;''y'') jeste netrivijalna. Funkcija ''T'' ne može biti napisana kao [[izraz zatvorenog oblika]]. Ova metoda rješavanja ovog problema postala je moguća samo nakon Fourierovog rada.

Druga primjena ovog Fourierovog reda je da se riješi [[Baselov problem]] koristeći [[Parsevalov teorem]]. moguće je, također, izračunati [[Riemannova zeta funkcija|ζ]](2''n''), za svaki pozitivan cijeli broj ''n''.

=== Moderne verzije koristeći kompleksne eksponente ===

Možemo koristiti [[Eulerova formula|Eulerovu formulu]],

: <math> e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx), \,</math>

gdje je <math>i</math> [[imaginarna jedinica]], kako bi dobili koncizniju formulu''':'''

:<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}.</math>

Fourierovi koeficijenti su dati kao''':'''

:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx.</math>

Fourierovi koeficijenti <math>a_n, b_n, c_n</math> su povezani preko izraza

:<math>a_n = { c_n + c_{-n} }</math> for <math>n=0,1,2,\dots,</math>

i

:<math>b_n = i( c_{n} - c_{-n} )</math> for <math>n=1,2,\dots</math>

Oznaka ''c''<sub>''n''</sub> ne neadekvatna za diskusiju Fourierovih koeficijenat nekoliko različitih funkcija. Zbog toga je uobičajno da se oni zamijenene sa prilagođenim oblikom ''ƒ'' (u ovom slučaju), kao što je ''F'' ili <math>\scriptstyle\hat{f},</math>. Odatle imamo''':'''

:<math>
\begin{align}
f(x) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\cdot e^{inx} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F[n]\cdot e^{inx} \quad \mbox{(inženjerstvo)}.
\end{align}
</math>

U inženjerstvu, posebno kada varijabla '''x''' predstavlja vrijeme, niz koeficijenata se naziva predstavljanje [[frekventni domen|frekventnog domena]]. Uglaste zagrade se često koriste kako bi se naglasilo da je domen ove funkcije '''diskretni''' skup frekvencija.

=== Fourierov red na općem intevalu [''a'',&nbsp;''b''] ===

Slijedeća formula, sa odgovarajućim koeficijentima kompleksne vrijednosti ''G''[''n''], je periodična funkcija sa periodom ''τ'' na cijelom skupu '''[[realan broj|R]]:'''

:<math>g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G[n]\cdot e^{i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\ .</math>

Ako je funkcija [[Integrabilna funkcija#Kvadrat integrabilna funkcija|kvadrat integrabilna]] na intervalu [''a'',&nbsp;''a''&nbsp;+&nbsp;''τ''], tada se, u tom intevalu, može predstaviti preko formule napisane iznad. Ako je ''g''(''x'') integrabilna, tada su Fourierovi koeficijenti dati sa''':'''

:<math>G[n] = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} g(x)\cdot e^{-i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\, dx.</math>

Uočite da ako je funkcija, koje se predstavlja, također i ''τ''-periodična, tada se ''a'' može proizvoljno izabrati. Dva pupularna izbora su ''a''&nbsp;=&nbsp;0 i ''a''&nbsp;=&nbsp;−''τ''/2.

Ostala često korištena predstavljanja frekventnog domena koriste Fourierove koeficijente kako bi se uskladio [[Diracov češalj]]''':'''

:<math>
G(f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)
</math>

gdje varijabla ''ƒ'' predstavlja '''neprekidan''' frekventni domen. Kada varijabla ''x'' ima jedinicu sekunda, ''ƒ'' ima jedinicu [[hertz]]. Originalna funkcija ''g''(''x'') može se dobiti iz ovog prikaza preko [[Fourierova transformacija|inverzne Fourierove transformacije]]''':'''

:<math>
\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{G(f)\} &=
\mathcal{F}^{-1}\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\left\{\delta\left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}}_{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\delta (f)\}}_{1}}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x} \quad = \ \ g(x).
\end{align}
</math>

Funkcija <math>G(f)\,</math> se često naziva '''Fourierova transformacija''', iako Fourierov integral periodične funkcije nije konvergentan.<ref>
Since the integral defining the Fourier transform of a periodic function is not convergent, it is necessary to view the periodic function and its transform as [[Distribution (mathematics)|distributions]].  In this sense <math>\mathcal{F}\{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\}</math> is a [[Dirac delta function]], which is an example of a [[Distribution (mathematics)|distribution]].</ref>

=== Fourierov red na kvadratu ===

Također možemo definisati Fourierov red za funkcije sa dvije varijable ''x'' i ''y'' na kvadratu [−''π'',&nbsp;''π'']×[−''π'',&nbsp;''π'']''':'''

:<math>f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbb{Z}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},</math>
:<math>c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy\ .</math>

Pored toga što su korisni za rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina, kao što je toplotna jednačina, još jedna značajna primjena Fourierovih redova na kvadratu je kod [[kompresija slike|kompresije digitalne slike]]. Specifično, [[JPEG]] standard kompresije slika koristi dvodimenzijalnu [[diskretna kosinusna tranformacija|diskretnu kosinusnu transformaciju]], koja je, u stvari, Fourierova transformacija uz koristenje funkcije sa kosinusnom bazom.

=== Hilbertova interpretacija prostora ===
{{glavni|Hilbertov prostor}}

U jeziku [[Hilbertov prostor|Hilbertovog prostora]], skup funkcija <math>\{ e_n = e^{i n x},n\in\mathbb{Z}\}</math> je [[ortonormalna baza]] za prostor <math>L^2([-\pi,\pi])</math> kvadrat-integrabilnih funkcija <math>[-\pi,\pi]</math>. Ovaj prostor je, u stvari, [[Hilbertov prostor]] sa [[prostor unutrašnjeg proizvoda|unutrašnji proizvod]] dat sa''':'''

:<math>\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.</math>

Osnovni rezultat Fourierovog reda za Hilbertove prostore može se napisati kao

:<math>f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e_n \rangle e_n.</math>

Ovo tačno odgovara formulaciji sa kompleksnim ekponentom, datoj u tekstu iznad. Varijanta sa sinusima i kosinusima je, također, opravdana sa interpetacijom Hilbertovog prostora. Očito, sinusi i kosinusi čine [[ortonormalnost|ortonormalni skup]]:

:<math>\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn},</math>
:<math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}</math>

(gdje je <math>\delta_{mn}</math> [[Kroneckerova delta]]), i

:<math>\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0.</math>

Gustina njihovog raspona je posljedica [[Stone-Weierstrassov teorem|Stone-Weierstrassovog teorema]].

== Osobine ==

Kažemo da je <math>f \in C^k(\mathbb{T})</math> ako je <math>f</math> funkcija od <math>\mathbb{R}</math>, koja je <math>k</math> puta diferencijabilna, njena ''k''-ta derivacija je neprekidna, te ako je <math>2\pi</math>-periodična.

* Ako je ''f'' <math>2\pi</math>-periodična [[parne i neparne funkcije|neparna funkcija]], tada je <math>a_n=0</math> za sve <math>n</math>.
* Ako je ''f'' <math>2\pi</math>-periodična [[parne i neparne funkcije|parnafunkcija]], tada je <math>b_n=0</math> ta sve <math>n</math>.
* Ako je ''f'' [[integrabilnost|integrabilna]], <math>\lim_{|n|\rightarrow \infty}\hat{f}(n)=0</math>, <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0</math> i <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=0.</math> Ovaj rezultat je poznat kao [[Riemann-Lebesgueova lema]].
* Ako <math>f \in C^1(\mathbb{T})</math>, tada Fourierovi koeficijenti <math>\hat{f'}(n)</math> od derivacija <math>f'(t)</math> mogu biti izraženi preko Fourierovih koeficijenata <math>\hat{f}(n)</math> funkcije <math>f(t)</math>, pomoću formule <math>\hat{f'}(n) = in \hat{f}(n)</math>.
* Ako <math>f \in C^k(\mathbb{T})</math>, tada je <math>\widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \hat{f}(n)</math>. Pojedinačno, pošto <math>\widehat{f^{(k)}}(n)</math> teži u nulu, imamo da <math>|n|^k\hat{f}(n)</math> teži u nulu, štp znači da Fourierovi koeficijenti konvergiraju u nulu brže nego ''k''-ti stepen od ''n''.
* [[Parsevalov teorem]]: ''Ako <math>f \in L^2([-\pi,\pi])</math>, tada je <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\hat{f}(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx</math>.''
* [[Plancherelov teorem]]: ''Ako su <math>c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots</math> koeficijenti i ako <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty</math>, tada postoji jedinstvena funkcija <math>f\in L^2([-\pi,\pi])</math>, takva da vrijedi <math>\hat{f}(n) = c_n</math> za svako <math>n</math>.
* [[Teorem konvolucije]] kaže da ako su ''f'' i ''g'' u intervalu <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, tada je <math>\widehat{f*g}(n) = \hat{f}(n)\hat{g}(n)</math>, gdje <math>f*g</math> označava <math>2\pi</math>-periodičnu [[konvolucija|konvoluciju]] od ''f'' i ''g''.

== Opći slučaj ==

Postoji mnogo načina da se uopći Fourierov red. Proučavanje Fourierovih redova i njhivih uopćavanja naziva se [[harmonijska analiza]].

=== Generalizovane funkcije ===
{{glavni|Generalizovana funkcija|Raspodjela (matematika)}}

Oznake Fourierovih koeficijenata mogu se proširiti u funkcije koje nisu kvadrat-integrabilne, pa čak i u objekte koji nisu funkcije. Ovo je veoma korisno u inženjerskim primjenama, zato šte često trebamo Fourierov red periodičnog ponavljanja [[Diracova delta funkcija|Diracove delta funkcije]]. Diracova delta ''δ'' nije, u stvari, funkcija; međutim, ona ipak ima [[Fourierova transformacija|fourierovu transformaciju]], a njeno periodično ponavljanje ima Fourierov red:

: <math>\hat{\delta}(n)={1 \over 2\pi}\text{ za svako }n.\,</math>

=== Riemannianova višestrukost ===

[[Datoteka:AtomicOrbital n4 l2.png|mini|desno|[[Atomska orbitala|Atomske orbitale]] u [[hemija|hemiji]] su [[sferični harminik|sferični harmonici]] i mogu se koristit za nalaženje Fourierovog reda na [[sfera|sferi]].]]
{{glavni|Laplaceov operator|Riemannianova višestrukost}}

Ako domen nije grupa, tada ne postoji bitno definisana konvolucija. Međutim, ako je <math>X</math> [[kompaktni prostor|kompaktna]] [[Riemannianova višestrukost]], ona ima Laplace-Beltramijev operator. Laplace-Beltramijev operator je diferencijalni operator koji odgovara [[Laplaceov operator|Laplaceovom operatoru]] za Riemannianovu višestrukost <math>X</math>. Tada, po analogiji, možemo razmatrati toplotnu jednačinu na <math>X</math>. Pošto je Fourier došao do svoje baze pokušavajući riješiti toplotnu jednačinu, prirodna generalizacija je ta da koristimo sopstvena rješenja Laplace-Beltramijebog operatora kao bazu. Ovo uopćuje Fourierov red u prostor tipa <math>L^2(X)</math>, gdje je <math>X</math> Riemannianova višestrukost. Fourierovi redovi konvergiraju na načine slične slučaju za interval <math>[-\pi,\pi]</math>. Tipičan primjer da se uzme da je X sfera, kada bi imali slučaj da se Fourierova bazasastoji od [[sferični harmonici|sferičnih harmonika]].

== Aproksimacija i konvergencija Fourierovog reda ==

Važno pitanje u teoriji, kao i u primjenama, je pitanje konvergencije. Naprimjer, često je potrebno u prijmenama zamijeniti beskonačni red <math>\sum_{-\infty}^\infty</math> sa konačnim,

:<math>S_N(x) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}.</math>

To je naziva ''parcijalna suma''. Htjeli bismo da znamo, u kojem smislu ''S<sub>N</sub>''(''x'') konvergira u ''f''(''x'') kada ''N'' teži u beskonačnost.

=== Osobina najmanjeg kvadrata ===

Kažemo da je ''p'' [[trigonometrijski polinom]] stepena ''N'' kada ima oblik

:<math>p(x)=\sum_{n=-N}^N p_n e^{inx}.</math>

Uočite da je <math>S_N(x)</math> trigonometrijski polinom stepena ''N''. Parsevalov teorem kaže da je

Teorem: ''<math>S_N(x)</math> je jedinstveno najbolji trigonometrijski polinom stepena <math>N</math> koji aproksimira <math>f(x)</math>, u smislu da, za svaki trigonometrijski polinom <math>p\neq S_N</math> stepena <math>N</math>, imamo <math>\|S_N - f\| \lneqq \|p - f\|.</math>''

Ovdje, norma Hilbertovog prostora je

:<math>\| g \| = \sqrt{{1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |g(x)|^2 \, dx}.</math>

=== Konvergencija ===
{{glavni|Konvergencija Fourierovog reda}}

Zbog osobine najmanjeg kvadrata, i zbog potpunosti Fourierove baze, dobijamo razultat elementarne konvergencije.

Teorem: ''Ako vrijedi <math>f\in L^2([-\pi,\pi])</math>, tada Fourierov red konvergira u <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, to jest, <math>\|S_N - f\|_2</math> konvergira u 0 kada <math>N</math> teži u beskonačnost.''

Već smo spomenuli da ako je ''f'' dva puta neprekidno diferencijabilna, tada <math>n^2 \hat{f}(n)</math> konvergira u nulu kada ''n'' teži u beskonačnost. Ovo odmah daje drugi rezultat konvergencije.

Teorem: ''Ako vrijedi <math>f \in C^2(\mathbb{T})</math>, tada <math>\sup_x |f(x) - S_N(x)| \leq \sum_{|n|>N} |\hat{f}(n)|</math> konvergira u nulu, npr., <math>S_N</math> konvergira u <math>f</math> [[uniformna konvergencija|uniformno]].''

=== Divergencija ===

Pošto Fourierovi redovi imaju tako dobre osobine konvergencije, možemo se iznenaditi sa nekim negativnim rezultatima.

[[1922]]. godine, [[Andrey Kolmogorov]] objavio je članak pod nazivom "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout" u kojem je dao primjer Lebesgue-integrabilne funkcije, čiji Fourierov red divergira skoro svuda. Kasnije je pokazao primjer integrabilne funkcije čiji Fourierov red divergira svuda {{harv|Katznelson|1976}}.

== Također pogledajte ==

* [[Gibbsov fenomen]]
* [[Laurentov red]] — zamjenom <math>q=e^{i x}</math> tranformiše Fourierov red u Laurentov red, ili obrnuto. Ovo se koristi kod proširenja ''q''-redova [[j-invarijanta|''j''-invarijante]].
* [[Sturm-Liouvilleova teorija]]

== Zabilješke ==
{{refspisak}}

== Reference ==

* William E. Boyce and Richard C. DiPrima, ''Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems'', Eighth edition. John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2005. {{ISBN|0-471-43338-1}}
* {{cite book | author = Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman | title = The Analytical Theory of Heat | url = https://archive.org/details/analyticaltheory0000four | publisher = Dover Publications | year = published 1822, translated 1878, re-released 2003 | id = {{ISBN|0-486-49531-0}} }}  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work ''Théorie Analytique de la Chaleur'', originally published in 1822.
* {{citation | last=Katznelson| first= Yitzhak| title=An introduction to harmonic analysis| edition = Second corrected | publisher = Dover Publications, Inc | year=1976 | location=New York |id= {{ISBN|0-486-63331-4}}}}
* [[Felix Klein]], ''Development of mathematics in the 19th century''. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert'', Springer, Berlin, 1928.
* Walter Rudin, ''Principles of mathematical analysis'', Third edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. {{ISBN|0-07-054235-X}}

== Vanjski linkovi ==
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
* [http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] shows Fourier series expansion of an arbitrary function
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Fourier_Series Primjeri problema iz Fourierovih redova] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080410180641/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Fourier_Series |date=10. 4. 2008 }}
* [http://www.e-dsp.com/8/ Fourier series explanation] - A simple, non-mathematical approach
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/FourierSeriesComplexMod.html  Fourier Series Module by John H. Mathews]
* [https://web.archive.org/web/20011205152434/http://www.shsu.edu/~icc_cmf/bio/fourier.html Joseph Fourier] - A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article
* In the bottom of this [https://web.archive.org/web/20081206033014/http://www.boutichesaid.cv.dz/FourierSeries/F_Series.htm interactive lecture], there is a Java animation showing how the '''Fourier series''' is affected when the term of rank n+1 is added to the n Fourier series terms.
{{planetmath|id=4718|naslov=primjer Fourierovog reda}}
{{Commonscat|Harmonic analysis}}

[[Kategorija:Fourierovi redovi| ]]
[[Kategorija:Joseph Fourier]]