Izvorni kôd stranice Elipsa

{{Nedostaju izvori}}
{{Drugo značenje|Elipsa (čvor)}}
[[Datoteka:Elipse.png|desno|mini|300px|Elipsa:<br />'''a''' = velika poluosa<br />'''b''' = mala poluosa]]
'''Elipsa''' je zatvorena [[kriva]] koja je određena sa dvije [[poluosa|poluose]]: velikom (oznaka: ''a'') i malom (oznaka: ''b''). Oblik elipse definiše se njenim [[ekscentricitet]]om (ili eliptičnošću, oznaka: ''e''). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek [[ravan|ravni]] i [[valjak|valjka]]. Tačke F<sub>1</sub> i ''F<sub>2</sub>'' nazivaju se [[fokus]]. Osobine tački ''F<sub>1</sub>'' i ''F<sub>2</sub>'' i  promjenljive tačke ''X '' je da je suma dužina duži  ''F<sub>1</sub>X'' i ''F<sub>2</sub>X'' uvijek jednaka.

Površina elipse se računa formulom:

:<math>P = a * b *\pi</math>
==Dijelovi elipse==

# Tačke <math>F_1</math> i <math>F_2</math> zovu se žarišta ili fokusi elipse.
# Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama  <math>F_1</math> i <math>F_2</math>)
# Sredina duži <math>F_1F_2</math> je središte elipse.
# Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
# Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena.
# Velika osa je duž  <math>AB</math>.
# Mala osa je duž <math>CD</math>.
# Velike poluose su duži <math>AS</math> i <math>SB</math>.
# Male poluose su duži <math>CS</math> i <math>SD</math>.
# Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse.
# Radijus vektori tačke na elipsi su dužine <math>F_1T</math> i <math>F_2T</math>.
==Formule==
{| class="wikitable"
|-
! Tekst zaglavlja !! Tekst zaglavlja
|-
| osna jednačina || <math>b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2</math>
|-
| segmentni oblik || <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.</math>
|-
| poluparametar || <math>p =\frac{b^2}{a} </math>
|-
| numerički ekscentricitet || <math>\varepsilon=\frac{e}{a}</math>
|-
| linearni ekscentricitet || <math>e^2 =a^2-b^2</math>
|-
| radijus vektor || <math>r_1+r_2=2a</math><ref>[http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html Ellipse]</ref>
|-
| jednačina tangente || <math>b^2x_1x+a^2y_1y=a^2b^2</math>
|-
| uslov da prava <math>y=kx+n</math> bude tangenta || <math>a^2k^2+b^2 =n^2</math>
|-
| koordinate tjemena || <math>(\pm a,0)</math>, <math>(0, \pm b,)</math>,

|}
==Osobine==
* algebarska  zatvorena kriva jedna je od konika
* skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan. 
* Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije. 
* Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je <math>e</math>  
* Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik. 
* Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama <math>r_1</math>, <math>r_2</math> tačke T sa žarištima elipse
* [[Planete]] se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi [[Sunce]].

==Ekscentricitet==

Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Označava se sa <math>e</math>. i izračunava se kao:

:<math>e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math><ref>[http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html Eccentricity]</ref>

<math>a</math> i <math>b</math> su dužine poluprečnika elipse. Ako  sa <math>c</math> označimo rastojanje između fokusnih tačaka elipse dobićemo

<math>e = \frac{c}{a}</math>
==Jednačina ==
Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. [[Jednačina]] elipse je.

<math>\displaystyle{\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2} = 1</math>

;Dokaz
Neka nezavisni parametar <math>\theta</math> raste od 0 do <math>\pi</math>

<math>x^2 = a^2\cos^2\theta.</math>

<math>y^2 = b^2\sin^2\theta.</math>

<math>\frac{x^2}{a^2} = \cos^2\theta.</math>

<math>\frac{y^2}{b^2} = \sin^2\theta.</math>

<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2\theta + \sin^2\theta.</math>

<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.</math><ref>[https://www.encyclopediaofmath.org//index.php?title=Ellipse&oldid=11394 An ellipse is a central second-order curve with canonical equation 07. februar 2011. by 127.0.0.1]</ref>

== Površina i obim ==

[[Površina elipse|Površina]] zatvorena elipsom je :<math>P = ab\pi</math>,  gdje su <math>a</math> i <math>b</math> polovine velike i male ose, a <math>\pi = 3,14159...</math> matematička konstanta. Do formule za površinu se dolazi izračunavanjem pomoću integrala.

;Dokaz. 
Površina  elipse je

<math>P = 4\int_0^a ydx = 4\int_0^a b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx = [ x = a\sin t, \ dx = a\cos t dt] </math>
: <math>= 4\int_0^{\frac{\pi}2} b\cdot\sqrt{\cos^2t}\cdot\cos t dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^2 t dt</math>
: <math>= 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{1+\cos 2t}2dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{dt}2 + ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos 2td2t </math>
: <math>= 4ab\cdot \frac{\pi}2 \Bigg|^{\frac{\pi}2} + ab\sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi}2} = ab\pi.</math>

[[Obim]] <math>O</math> elipse je <math>4 a E(\varepsilon)</math>,
gdje je funkcija <math>E</math> totalni [[eliptični integral]] [[Eliptični integral#Totalni eliptični integral druge vrste|druge vrste]].

Tačan [[beskonačan red]] glasi:

:<math>C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right];\!\,</math>

ili

:<math>C = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {\varepsilon^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace};\,\!</math>

Dobra [[aproksimacija]] [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujanova]], a koja glasi:

:<math>C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,</math>

ili bolja [[aproksimacija]]:

:<math>C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right);\!\,</math>

Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:

:<math>C \approx \frac{\pi a (9 - \sqrt{35})}{2};\!\,</math>

ili

<math>C \approx \frac{a}{2} \sqrt{93 + \frac{1}{2} \sqrt{3}};\!\,</math> (better approximation).

Općenitije, [[dužina luka]] dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim [[eliptički integral|eliptičkim integralom]]. [[Inverzna funkcija]], obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko [[eliptička funkcija|eliptičkih funkcija]].
==Zbir rastojanja tačke elipse od žiža==

Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa <math>F_1</math> i <math>F_2</math> je konstantan i iznosi <math>2a</math>
[[Datoteka:Angular eccentricity and linear eccentricity.svg|desno|mini]]

;Dokaz

Ako je <math>M(x,y)</math> proizvoljna tačka elipse, <math>N</math> podnožje normale iz te tačke na direktrisu <math>d</math>, a <math>N^\prime</math> podnožje normale na direktrisu <math>d^\prime</math>   , onda je

<math>\overline{FM} = e\cdot\overline{MN}, \ \overline{F^\prime M} = e\cdot\overline{MN^\prime},</math>

<math> e\in (0,1)</math> je ekscentricitet elipse

: <math>\overline{FM}+\overline{F^\prime M} = e\cdot(\overline{MN}+\overline{MN^\prime})</math>.

Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi <math>e*2*(a/e)</math>, pa je
: <math>\overline{FM}+\overline{F^\prime M} = e\cdot\frac{a}{e} = 2a,</math>

== Također pogledajte ==

* [[Ekscentricitet]]

==Izvori==
[http://www.mathopenref.com/tocs/ellipsetoc.html Ellipses]

[http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html Ellipse]

[https://www.encyclopediaofmath.org//index.php?title=Ellipse&oldid=11394 Ellipse, 7 February 2011 by 127.0.0.1]

[http://tkrajina.github.io/Salabahteri/analiticka_geometrija.pdf Analitička geometrija ravnine – osnovne formule]

==Reference==
{{Commonscat|Ellipses}}

[[Kategorija:Konusni presjeci]]
[[Kategorija:Ravanske krive]]
[[Kategorija:Elementarni oblici]]
[[Kategorija:Algebarske krive]]