Izvorni kôd stranice Eksponent

{{infokutija simbol
| mark                   = {{math|''b''<sup>''n''</sup>}}
| ime                  = Oznaka
| variant1 caption       = Baza b i eksponent  n
}}
[[slika:Expo02.svg|thumb|315px|GraFikoni  {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} za razne baze ''b'':
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Powers of ten|base&nbsp;10]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#The exponential function|base&nbsp;''e'']],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Powers of two|base&nbsp;2]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|base&nbsp;{{sfrac|1|2}}.}}}}
Svaka kriva prolazi kroz tačku {{math|(0, 1)}} jer je bilo koji broj različit od nule podignut na stepen 0 1. U {{math|1=''x'' = 1}}, vrijednost ''y'' je jednako bazi jer je svaki broj podignut na stepen od 1 sam broj.]]
<div class="tright">{{Calculation results}}</div>
'''Eksponencijacija''' je [[matematika|matematička]] [[operacija (matematika)|operacija]], napisana kao {{math|''b''<sup>''n''</sup> }}, koji uključuje dva broja, ''[[Baza (eksponencijacija)|baza]]'' {{mvar|b}} i ''eksponent'' ili ''power'' {{mvar|n}}, i izgovara se kao "{{mvar|b}} (podignuto) na (potenciju) {{mvar|n}}".<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=Basic rules for exponentiation|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=27. 8. 2020|website=Math Insight}}</ref> Kada je {{mvar|n}} pozitivan [[integer]], eksponencijacija odgovara ponovljenom [[množenje|umnošku]] baze: to jest, {{math|''b''<sup>''n'' </sup>}} je [[proizvod (matematika)|proizvod]] množenja {{mvar|n}} baza:<ref name=":1" />
<math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math>
 
Eksponent se obično prikazuje kao [[superskript]]a desno od baze. U tom slučaju, {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} zove se "''b'' podignut na ''n''-tu potenciju, ''''b'' (podignut) na stepen ''n'''', "''n''-ti stepen '' b''", "''b'' na ''n''-tu potenciju",<ref>{{Cite web| last=Weisstein|first=Eric W.| title=Power| url=https://mathworld.wolfram.com/Power.html | access-date=27. 8. 2020| website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ili najkraće kao "''b'' do ''n''-og.
 
Polazeći od osnovne činjenice gore navedene da je za svaki pozitivan cijeli broj <math>n</math>, <math>b^n</math> <math>n</math> pojavljivanja <math>b</math> sve pomnoženo jedno s drugim, direktno slijedi nekoliko drugih svojstava eksponencijalnosti. Posebno:
 
<math display="block">
\begin{align}
b^{n+m} & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n+m \text{ times}} \\[1ex]
& = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n \text{ times}} \times \underbrace{b \times \dots \times b}_{m \text{ times}} \\[1ex]
& = b^n \times b^m
\end{align}
</math>
 
Drugim riječima, kada se množi baza podignuta na jedan eksponent sa istom bazom podignutom na drugi eksponent, eksponenti se sabiraju. Iz ovog osnovnog pravila koje dodaju eksponenti možemo izvesti da <math>b^0</math> mora biti jednako 1, kako slijedi. Za bilo koji <math>n</math>, <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math>. Podjela obje strane sa <math>b^n</math> daje <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math>.
 
Činjenica da se <math>b^1 = b</math> može na sličan način izvesti iz istog pravila. Na primjer, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. Uzimanje kubnog korijena obje strane daje <math>b^1 = b</math>.
 
Pravilo da množenje čini da se eksponenti sabiraju može se koristiti i za izvođenje svojstava negativnih cjelobrojnih eksponenata. Razmotrite pitanje šta bi trebalo značiti <math>b^{-1}</math>. Da bi se poštivalo pravilo "eksponenti dodatak", mora biti slučaj da <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math>. Dijeljenje obje strane sa <math>b^{1}</math> daje <math>b^{-1} = 1 / b^1</math>, što se jednostavnije može napisati kao <math>b^{ -1} = 1 / b</math>, koristeći rezultat odozgo da je <math>b^1 = b</math>. Po sličnom argumentu, <math>b^{-n} = 1 / b^n</math>.
 
Svojstva razlomanih eksponenata također proizlaze iz istog pravila. Naprimjer, pretpostavimo da razmatramo <math>\sqrt{b}</math> i pitamo postoji li neki odgovarajući eksponent, koji možemo nazvati <math>r</math>, tako da je <math> b^r = \ sqrt{b}</math>. Iz definicije kvadratnog korijena, imamo da je <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math>. Prema tome, eksponent <math>r</math> mora biti takav da <math> b^r \cdot b^r = b </math>. Korišćenje činjenice da množenje čini eksponente sabiranjem daje <math> b^{r+r} = b </math>. <math>b</math> na desnoj strani se također može napisati kao <math> b^1</math>, dajući <math> b^{r+r} = b^1 </math> . Izjednačavajući eksponente na obje strane, imamo <math> r+r = 1 </math>. Prema tome, <math> r = \frac{1}{2} </math>, tako da <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>.
 
Definicija eksponencijalnosti može se proširiti tako da omogući bilo koji realan ili [[kompleksni brojevi|kompleksni]] eksponent. Eksponencijaliranje cjelobrojnim eksponentima se također može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući [[matrica (matematika)|matrice]].
 
Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim poljima, uključujući [[ekonomija|ekonomiju]], [[biologija|biologiju]], [[hemija|hemiju]], [[fizika|fiziku]] i [[računarske nauke]], sa aplikacijama kao što su [[složeni interes]], [[rast populacije]], [[kinetika hemijske reakcije]], ponašanje [[talas]]a i [[kriptografija s javnim ključem]].
 
==Terminologija==
Izraz {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}} naziva se "[[Kvadrat (algebra)|kvadrat]] od ''b'' ili ''b'' na kvadrat, jer je površina kvadrata sa dužinom stranice {{math|''b''}} {{math|''b''<sup> 2</sup>}}.
 
Slično tome, izraz {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}} naziva se "[[Kubiranje (algebra)|kub]] od ''b'' ili ''b'' kocka, jer je zapremina kocke sa bočnom dužinom {{math|''b''}} {{math| ''b''<sup>3</sup>}}.
 
Kada je [[pozitivan cijeli broj]], eksponent pokazuje koliko je kopija baze pomnoženo zajedno. Naprimjer, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. Baza {{math|3}} se pojavljuje {{math|5}} puta u množenju, jer je eksponent {{math|5}}. Ovde, {{math|243}} je ''5. stepen od 3'', ili ''3 podignuto na 5. stepen''.
 
Riječ "podignut" se obično izostavlja, a ponekad i "potencija", tako da se {{math|3<sup>5</sup>}} može jednostavno pročitati "3 na 5.", ili "3<sup>5</sup>." Stoga se eksponencijacija {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} može izraziti kao "''b'' na stepen ''n''", "' 'b' na ''n''-tu potenciju, ''''b'' na ''n''-tu, ili najkraće kao ''b'' na ''n''.
 
Formula sa ugniježđenom eksponencijacijom, kao što je {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (što znači {{math|3<sup>(5<sup>7</sup> sup>)</sup>}} a ne {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), naziva se potencija moći, ili jednostavno potdencija. Naprimjer, pisanje <math>b^{c^d}</math> je ekvivalentno pisanju <math>b^{\left(c^d\right)}</math>. Ovo se može generalizirati na to gdje pisanje <math>b^{c^{d^f}}</math> znači <math>b^{\left(c^{\left(d^f\right)}\right )}</math>. Naprimjer, <math>\sqrt{100}</math> se može izračunati kao <math>100^{\frac{1}{2}}</math>, što se može izračunati kao <math>100^{ 2^{-1}}</math>, što je jednako <math>100^{\left(2^{-1}\right)}</math>, što je jednako 10..

==Cjelobrojni eksponenti==
Operacija eksponencijaliranja sa celobrojnim eksponentima može se definisati direktno iz elementarnih [[aritmetička operacija|aritmetičkih operacija]].
 
===Pozitivni eksponenti===
Definicija eksponencijacije kao ponavljanog množenja može se [[formalni dokaz|formalizirati]] korištenjem [[matematička indukcija|indukcije]],<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94 |title=Abstract Algebra: an inquiry based approach |first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}</ref> a ova definicija se može koristiti čim se dobije [[asocijativnost]] množenja:
 
Osnovni slučaj je
:<math>b^1 = b</math>
a [[odnos ponavljanja|ponavljanje]] je
:<math>b^{n+1} = b^n \cdot b.</math>
 
Asocijativnost množenja implicira da za bilo koje pozitivne cijele brojeve {{mvar|m}} i {{mvar|n}},
:<math>b^{m+n} = b^m\cdot b^n,</math>
i
:<math>(b^m)^n=b^{mn}.</math>
 
===Nulti eksponent===
Po definiciji, svaki broj različit od nule podignut na stepen {{math|0}} je {{math|1}}:<ref name=":1"/><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=Technical Shop Mathematics |first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref>
:<math>b^0=1.</math>
 
Ova definicija je jedina moguća koja dozvoljava proširenje formule:
:<math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math>
na nulte eksponente. Može se koristiti u svakoj [[algebarska struktura|algebarskoj strukturi]] sa množenjem koje ima [[multiplikativni identitet|identitet]].
 
Intuitivno, <math>b^0</math> se može protumačiti kao [[prazan proizvod]] kopija {{mvar|b}}. Dakle, jednakost <math>b^0=1</math> je poseban slučaj opće konvencije za prazan proizvod.
 
Slučaj {{math|0<sup>0</sup>}} je komplikovaniji. U kontekstima u kojima se razmatraju samo cjelobrojne potencije, vrijednosti {{math|1}} se općenito dodjeljuje <math>0^0,</math>, ali u suprotnom, izbor da li će joj se dodijeliti vrijednost i koju vrijednost dodjela može ovisiti o kontekstu. {{Crossref|Za više detalja, pogledajte [[Nula na stepen nula]].}}
 
===Negativni eksponenti===
Eksponencijacija sa negativnim eksponentima je definirana sljedećim identitetom, koji vrijedi za bilo koji cijeli broj {{mvar|n}} i različit od nule {{mvar|b}}:
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" />
Povećanje 0 na negativan eksponent je nedefinisano, ali se u nekim okolnostima može tumačiti kao beskonačnost (<math>\infty</math>).
 
Ova definicija eksponencijalnosti sa negativnim eksponentima je jedina koja dozvoljava proširenje identiteta <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> na negativne eksponente (razmotrite slučaj <math>m =-n</math>).
 
Ista definicija se odnosi na [[inverzibilni element]] u multiplikativnom [[monoid]]u, odnosno [[algebarska struktura|algebarskoj strukturi]], sa asocijativnim množenjem i [[multiplikativni identitet|mulriplikativnim identitetom]] označenim kao {{math|1 }} (naprimjer, date dimenzije [[kvadratna matrica|kvadratne matrice]]). Konkretno, u takvoj strukturi, inverz od [[inverzibilnog elementa]] {{mvar|x}} standardno se označava <math>x^{-1}.</math>
 
===Identiteti i svojstva===
Slijedeći [[identitet (matematika)|identiteti]], koji se često nazivaju '''{{vanchor|eksponentna pravila}}''', važe za sve cjelobrojne eksponente, pod uslovom da je baza različita od nule:<ref name=":1"/>
:<math>\begin{align}
           b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
 \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\
       (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
\end{align}</math>
 
Za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije [[komutativnost|komutativna]]. Naprimjer, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}. Također, za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije [[asocijativnost|asocijativna]]. Naprimjer, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, dok je {{math|2<sup>(3<sup>2</sup>)</sup> {{=}} 2<sup>9</sup> {{=}} 512}}. Bez zagrada, konvencionijski [[redoslijed operacija]] za [[serijska eksponencijacija|serijsku eksponencijaciju]] u superskriptnoj notaciji je odozgo prema dolje (ili ''desno'' asocijativno), a ne odozdo prema gore (ili ''lijevo''-asocijativno).<ref name="Backus_1954">{{cite book |title=Specifications for: The IBM Mathematical FORmula TRANSlating System, FORTRAN |type=Preliminary report |author-first1=John Warner |author-last1=Backus|author-first2=Harlan L. |author-last2=Herrick |author-first3=Robert A. |author-last3=Nelson |author-first4=Irving |author-last4=Ziller |editor-first4=John Warner |editor-last=Backus |publisher=Programming Research Group, Applied Science Division, International Business Machines Corporation |location=New York, USA |date=10. 11. 1954 |pages=4, 6 |url=https://archive.computerhistory.org/resources/text/Fortran/102679231.05.01.acc.pdf |access-date=4. 7. 2022 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220329234459/https://archive.computerhistory.org/resources/text/Fortran/102679231.05.01.acc.pdf |archive-date=29. 3. 2022}} (29 pages)</ref>
<ref name="Sayre_1956">{{cite book |title=The FORTRAN Automatic Coding System for the IBM 704 EDPM: Programmer's Reference Manual |publisher=Applied Science Division and Programming Research Department, International Business Machines Corporation |location=New York, USA |date=15. 10. 1956 |editor-first=David |editor-last=Sayre |author-first1=John Warner |author-last1=Backus |author-first2=R. J. |author-last2=Beeber |author-first3=Sheldon F. |author-last3=Best |author-first4=Richard |author-last4=Goldberg | |author-first5=Harlan L. |author-last5=Herrick |author-first6=R. A. |author-last6=Hughes |author-first7=L. B. |author-last7=Mitchell |author-first8=Robert A. |author-last8=Nelson |author-first9=Roy |author-last9=Nutt | |page=15 |url=http://archive.computerhistory.org/resources/text/Fortran/102649787.05.01.acc.pdf |access-date=4. 7. 2022 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220704193549/http://archive.computerhistory.org/resources/text/Fortran/102649787.05.01.acc.pdf |archive-date=4. 7. 2022}} (2+51+1 pages)</ref>
<ref name="Robinson_1958">{{Cite journal |title=A report on primes of the form k · 2<sup>n</sup> + 1 and on factors of Fermat numbers |author-first=Raphael Mitchel|journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=9 |issue=5 |date=oktobar 1958 |orig-year=1958-04-07 |location=University of California, Berkeley, California, USA |doi=10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 |pages=673–681 [677] |url=https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |access-date=28. 6. 2020 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200628100823/https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |archive-date=28. 6. 2020|doi-access=free }}</ref>
 
:To je,
:<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math>
što je, općenito, drfukčije od: 
:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>

===Potencije zbira===
Potencije sume se normalno mogu izračunati iz potencija sabiraka pomoću [[binomna formula|binomne formule]]
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n !}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>
 
Međutim, ova formula je istinita samo ako se sabirci mijenjaju (tj. da {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), što se podrazumijeva ako pripadaju [[algebarskoj strukturi|strukturi]]  to je [[komutativno svojstvo|komutativno]]. U suprotnom, ako su {{mvar|a}} i {{mvar|b}}, recimo, [[kvadratna matrica|kvadratne matrice]] od same veličine, ova formula se ne može koristiti. Iz toga slijedi da se u [[kompjuterska algebra|kompjuterskoj algebri]] mnogi [[algoritami]] koji uključuju cjelobrojne eksponente moraju promijeniti kada se baze eksponencijacije ne mijenjaju. Neki [[sistemi kompjuterske algebre]] opće namjene koriste drugačiju notaciju (ponekad {{math|^^}} umjesto {{math|^}}) za eksponencijaciju sa nekomutirajućim bazama, što se tada naziva ''' nekomutativno eksponencijaliranje''.
 
===Kombinatorna interpretacija===
Za nenegativne cijele brojeve {{mvar|n}} i {{mvar|m}}, vrijednost {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} je broj [ [funkcija (matematika)|funkcije]] iz [[Skup (matematika)|skup]] od {{mvar|m}} elemenata u skupu {{mvar|n}} elemenata (pogledajte [[Kardinalni broj|kardinalno eksponencijaliranje]]). Takve funkcije mogu biti predstavljene kao {{mvar|m}}-torke]] iz {{mvar|n}}-skupa elemenata (ili kao {{mvar|m}}-slovne riječi iz {{mvar-a |n}}-slovna abeceda). Neki primjeri za određene vrijednosti {{mvar|m}} i {{mvar|n}} dati su u sljedećoj tabeli:
:{| class="wikitable"
!{{math|''n''<sup>''m''</sup>}}
!{{math|''n''<sup>''m''</sup>}} moguće {{mvar|m}}-torke elemenata iz skupa {{math|{{mset|1, ..., ''n''}}}}
|-
|0{{sup|5}} = 0
|{{CNone|none}}
|-
|1{{sup|4}} = 1
|(1, 1, 1, 1)
|-
|2{{sup|3}} = 8
|(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
|-
|3{{sup|2}} = 9
|(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
|-
|4{{sup|1}} = 4
|(1), (2), (3), (4)
|-
|5{{sup|0}} = 1
|()
|}
 
===Posebne baze===
===={{anchor|Baza 10}}Potencije desetica====
{{Također pogledajte|Naučna notacija}}
{{Glavni|Potencija od 10}}
U sistemu brojeva sa bazom deset ([[decimalni sistem|decimalni]]), cjelobrojne potencije {{math|10}} se zapisuju kao cifra {{math|1}} iza koje slijedi ili prethodi broj nula određenih predznakom i veličinom eksponenta. Naprimjer, {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}.
 
Eksponencijacija sa bazom {{math|[[10 (broj)|10]]}} se koristi u [[naučna notacija|naučnoj notaciji]] za označavanje velikih ili malih brojeva. Naprimjer, {{val|299792458|u=m/s}} ([[brzina svjetlosti]] u [[vakuum]]u, u [[metar|metrima u sekundi]]) se može napisati kao {{val|2.99792458|e=8 |u=m/s}}, a zatim [[aproksimacija|približno]] kao {{val|2.998|e=8|u=m/s}}.
[[SI prefiks]]i zasnovane na moćima {{math|10}} se također koriste za opisivanje malih ili velikih količina. Na primjer, prefiks [[Kilo-|kilo]] znači {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, tako da je kilometar {{val|1000| u=metri}}.<ref name="NIST_2010">{{cite book |title=NIST Handbook of Mathematical Functions|editor-first=Frank W. J. |editor-last=Olver |editor2-first=Daniel W. |editor2-last=Lozier |editor3-first=Ronald F. |editor3-last=Boisvert |editor4-first=Charles W. |editor4-last=Clark |date=2010 |publisher=National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, Cambridge University Press |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248}}[http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638]</ref>
<ref name="Zeidler_2013">{{cite book |title=Springer-Handbuch der Mathematik I|volume=I |language=de |editor-first=Eberhard |editor-last=Zeidler |author-last1=Zeidler |author-first1=Eberhard|author-last2=Schwarz |author-first2=Hans Rudolf |author-last3=Hackbusch |author-first3=Wolfgang|author-last4=Luderer |author-first4=Bernd |author-last5=Blath |author-first5=Jochen |author-last6=Schied |author-first6=Alexander |author-last7=Dempe |author-first7=Stephan |author-last8=Wanka |author-first8=Gert |publisher=Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden |location=Berlin/Heidelberg, Germany |edition=1 |date=2013 |orig-year=2012 |isbn=978-3-658-00284-8 |doi=10.1007/978-3-658-00285-5 |page=590<!-- |url=https://www.springer.com/de/book/9783658002848 |access-date=27. 6. 2020 -->}} (xii+635 pages)</ref>

===={{anchor|Baza 2}}Potencije dvojke====
{{Glavni|Potencija dvojke}}
Prve negativne potencije {{math|2}} se obično koriste i imaju posebne nazive, npr.: ''[[Jedna polovina|pola]]'' i ''[[4 (broj)|četvrtina]]'' .
 
Moći {{math|2}} se pojavljuju u [[teoriji skupova]], pošto skup sa {{math|''n''}} članovima ima [[power set]], skup svih njegovih [[podskup]]s, koji ima {{math|2<sup>''n''</sup>}} članova.
 
Cjelobrojne moći {{math|2}} su važne u [[računarstvo|računarstvu]]. Pozitivni cijeli brojevi {{math|2<sup>''n''</sup>}} daju broj mogućih vrijednosti za {{math|''n''}}-[[bit]] cijeli broj [[binarni broj]]; na primjer, [[byte]] može uzeti {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} različite vrijednosti. [[binarni brojevni sistem]] izražava bilo koji broj kao zbir stepena {{math|2}}, i označava ga kao niz {{math|0}} i {{math|1}}, razdvojenih sa a [[binarna tačka]], gde {{math|1}} označava stepen {{math|2}} koji se pojavljuje u zbiru; eksponent je određen mjestom ove {{math|1}}: nenegativni eksponenti su rang {{math|1}} na lijevoj strani tačke (počevši od {{math|0}}), a negativni eksponenti su određeni rangom s desne strane tačke.

====Potenciranje jedan====
Potencije 1 su jednake 1: {{math|1=1<sup>''n''</sup> = 1}}. To je zato što <math display="block">1^n = \underbrace{1 \times 1 \times \dots \times 1 \times 1}_{n \text{ times}}</math> i <math> 1 \times 1 = 1</math>
 
Prvi stepen broja je sam broj: <math>n^1=n.</math> Eksponent može biti vrlo velik, a izlaz je i dalje 1, naprimjer <math>1^{9^{9^ {9^{9}}}}=1</math>. Ovo izračunavanje uzrokuje grešku prelivanja u računarima jer je broj <math>9^{9^{9^{9}}}</math> izuzetno velik, a rezultat podizanja 1 na taj stepen je samo 1.
 
====Potenciranje nule====
Ako je eksponent {{mvar|n}} pozitivan ({{math|''n'' > 0}}),  {{mvar|n}}-ta potencija nule je nula: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}.
 
Ako je eksponent {{mvar|n}} negativan ({{math|''n'' < 0}}), {{mvar|n}}-ti stepen nule {{math|0<sup>'' n''</sup>}} je nedefiniran, jer mora biti jednak <math>1/0^{-n}</math> sa {{math|−''n'' > 0}}, a to bi bilo <math>1/0</math> prema gore navedenom.
 
Izraz [[Nula na stepen nule|{{math|0<sup>0</sup>}}]] je ili definiran kao 1, ili je ostavljen nedefiniran.
 
====Potencije negativne jedinice====
Ako je {{math|''n''}} paran cijeli broj, tada je {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}. To je zato što se negativan broj pomnožen sa drugim negativnim brojem poništava i daje pozitivan broj.
 
Ako je {{math|''n''}} neparan cijeli broj, tada je {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = −1}}. To je zato što će postojati preostali {{math|1=(−1)}} nakon uklanjanja svih parova {{math|1=(−1)}}.
 
Zbog toga su potencije {{math|−1}} korisne za izražavanje naizmjeničnih [[sekvencija]].
 
==== Potencije 3 ====
Ternarna logika koristi bazu 3 kao alternativu bazi −2 za binarnu logiku, koju koriste svi savremeni računari. Postoje mnoge prednosti dizajniranja računara sa bazom 3 uključujući veću sigurnost.

===Veliki eksponenti===
[[Ograničenje niza]] stepena broja većeg od jedan se razilazi; drugim riječima, niz raste neograničeno:
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} kao {{math|''n'' → ∞}} kada je {{math|''b'' > 1}}
 
Ovo se može pročitati kao "''b'' na stepen ''n'' teži ka [[Proširena realna brojevna prava|+∞]] kao ''n'' teži beskonačnosti kada je ''b'' veće od 1".
Potencije broja sa [[apsolutna vrijednost]] manjim od jedan teže nuli:
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} kao {{math|''n'' → ∞}} kada je {{math|{{abs|' 'b''}} < 1}}
 
Svaka potencija 1 je uvijek 1:
:{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} za sve {{math|''n''}} ako je {{math|1='' b'' = 1}}
 
Potencije {{math|–1}} se naizmjenično smjenjuju između {{math|1}} i {{math|–1}} kao što se {{math|''n''}} mijenja između parnih i neparnih, i stoga ne teže bilo kojoj granici kako {{math|''n''}} raste.
 
Ako se {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}} mijenja između većih i većih pozitivnih i negativnih brojeva jer se {{math|''n''}} izmjenjuje između parnih i neparnih, i stoga ne teži bilo kakvom ograničenju kako {{math|''n''}} raste.
 
Ako eksponencirani broj varira dok teži ka {{math|1}} dok eksponent teži beskonačnosti, onda granica nije nužno jedna od onih iznad. Posebno važan slučaj je
:{{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} kao {{math|''n'' → ∞}}
 
===Funkcije potencija===
[[slika:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|Potencija funkcije za <math>n=1,3,5</math>]]
[[slika:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|Potencika funkcije za <math>n=2,4,6</math>]]
 
Realne funkcije oblika <math>f(x) = cx^n</math>, gdje je <math>c \ne 0</math>, ponekad se nazivaju funkcije potencije.<r ef>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=Thomas' Calculus |url=https://archive.org/details/thomascalculusea0000hass_14ed |date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=[https://archive.org/details/thomascalculusea0000hass_14ed/page/7 7]–8 |edition=14}}</ref> Kada je <math>n</math> [[integer]] i <math>n\ge 1</math>, postoje dvije primarne porodice: za <math>n</math> čak i za <math> n</math> neparan. Općenito za <math>c > 0</math>, kada je <math>n</math> paran <math>f(x) = cx^n</math> težit će ka pozitivnoj [[beskonačnost (matematika)|beskonačnosti]] sa povećanjem <math>x</math>, kao i prema pozitivnoj beskonačnosti sa smanjenjem <math>x</math>. Svi grafikoni iz porodice parnih funkcija stepena imaju opći oblik <math>y=cx^2</math>, spljoštavajući se više u sredini kako se <math>n</math> povećava.<ref name="Calculus: Early Transcendentals">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref>  Funkcije sa ovom vrstom [[simetrija]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} nazivaju se [[parna funkcija|parne funkcije]].
 
Kada je <math>n</math> neparan, [[asimptotično]] ponašanje <math>f(x)</math> se obrće s pozitivnog <math>x</math> na negativno <math>x</math> matematika>. Za <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> će također težiti pozitivnom [[beskonačnost (matematika)|beskonačnost]] sa povećanjem <math>x</math> math>, ali prema negativnoj beskonačnosti sa smanjenjem <math>x</math>. Svi grafikoni iz porodice funkcija neparnog stepena imaju opći oblik <math>y=cx^3</math>, spljoštavajući se više u sredini kako se <math>n</math> povećava i gube svu ravnost u ravnini linija za <math>n=1</math>. Funkcije sa ovom vrstom simetrije {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} se nazivaju [[neparna funkcija|neparne funkcije]].
 
Za <math>c < 0</math>, suprotno asimptotsko ponašanje je istinito u svakom slučaju.<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
 
===Potencije decimalnih brojeva===
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! ''n'' !! ''n''<sup>2</sup> !! ''n''<sup>3</sup> !! ''n''<sup>4</sup> !! ''n''<sup>5</sup> !! ''n''<sup>6</sup> !! ''n''<sup>7</sup> !! ''n''<sup>8</sup> !! ''n''<sup>9</sup> !! ''n''<sup>10</sup>
|-
|'''1''' || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
|'''2''' || 4 || 8 || 16 || 32 || 64 || 128 || 256 || 512 || 1024
|-
|'''3''' || 9 || 27||81||243||729 ||{{val|2,187}}||{{val|6,561}}||{{val|19,683}}||{{val|59,049}}
|-
|'''4''' || 16 || 64 || 256 || 1024 ||{{val|4,096}}||{{val|16,384}}||{{val|65,536}}||{{val|262,144}}||{{val|1,048,576}}
|-
|'''5''' || 25 || 125 || 625 || 3125 ||{{val|15,625}}||{{val|78,125}}||{{val|390,625}}||{{val|1,953,125}}||{{val|9,765,625}}
|-
|'''6''' || 36 || 216 || 1296 ||{{val|7,776}}||{{val|46,656}}||{{val|279,936}}||{{val|1,679,616}}|| {{val|10,077,696}}||{{val|60,466,176}}
|-
|'''7''' || 49 || 343 || 2401 ||{{val|16,807}}||{{val|117,649}}||{{val|823,543}} ||{{val|5,764,801}} || {{val|40,353,607}} || {{val|282,475,249}}
|-
|'''8''' || 64|| 512 ||4096||{{val|32,768}}||{{val|262,144}}||{{val|2,097,152}}||{{val|16,777,216}}|| {{val|134,217,728}} || {{val|1,073,741,824}}
|-
|'''9''' || 81 || 729 || 6561 || {{val|59,049}} || {{val|531,441}} ||{{val|4,782,969}}|| {{val|43,046,721}}||{{val|387,420,489}}||{{val|3,486,784,401}}
|-
|'''10''' || 100 || 1000 ||{{val|10,000}}||{{val|100,000}}||{{val|1,000,000}}||{{val|10,000,000}}|| {{val|100,000,000}}|| {{val|1,000,000,000}}||{{val|10,000,000,000}}
|}

==Također pogledajte==
* [[Dvostruka eksponencijalna funkcija]]
* [[Eksponencijalno raspadanje]]
* [[Eksponencijalno polje]]
* [[Eksponencijalni rast]]
* [[Lista eksponencijalnih tema]]
* [[Modularna eksponencijacija]]
* [[Naučna notacija]]
* [[Unikodni subskripti i superskripti]]
* [[Jednačina x^y = y^x|''x''<sup>''y''</sup> = ''y''<sup>''x''</sup>]]
* [[Nula na stepen nule]]
{{div col end}}
 
 
==Napomene==
{{Reflist|group="nb"|refs=
<!-- <ref group="nb" name="NB_Rucker">[[Alfred Pringsheim]]'s and [[Jules Molk]]'s (1907) notation {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} to denote [[function composition]]s must not be confused with [[Rudolf von Bitter Rucker]]'s (1982) [[Rudy Rucker notation|notation]] {{math|{{i sup|''n''}}''x''}}, introduced by Hans Maurer (1901) and [[Reuben Louis Goodstein]] (1947) for [[tetration]], or with [[David Patterson Ellerman]]'s (1995) {{math|{{i sup|''n''}}''x''}} pre-superscript notation for [[nth root|root]]s. --><!-- See {{cite book |title=Intellectual Trespassing as a Way of Life: Essays in Philosophy, Economics, and Mathematics |chapter=Chapter 12: Parallel Addition, Series-Parallel Duality, and Financial Mathematics: Series Chauvinsism |series=G – Reference, Information and Interdisciplinary Subjects Series |work=The worldly philosophy: studies in intersection of philosophy and economics |author-first=David Patterson |author-last=Ellerman|edition=illustrated |publisher=Rowman & Littlefield Publishers, Inc. |date=21. 3. 1995 |isbn=0-8476-7932-2 |pages=237–268 [239] |url=http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/IntellectualTrespassingBook.pdf |chapter-url=https://books.google.com/books?id=NgJqXXk7zAAC&pg=PA237 |access-date=9. 8. 2019 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305012729/http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/IntellectualTrespassingBook.pdf |archive-date=5. 3. 2016 |quote=}} [https://web.archive.org/web/20150917191423/http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/sp_math.doc] (271 pages) --><!-- {{cite web |title=Introduction to Series-Parallel Duality |author-first=David Patterson |author-last=Ellerman|publisher=University of California at Riverside|date=maj 2004 |orig-year=1995-03-21 |citeseerx=10.1.1.90.3666 |url=http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/Series-Parallel-Duality.CV_.pdf |access-date=9. 8. 2019 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190810011716/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf |archive-date=10. 8. 2019}} [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf] (24 pages) --></ref>
}}
 
==Reference==
{{Reflist}}
 
==Vanjski linkovi==
{{Portal|Matematika}}
{{Hiperoperacije}}
{{Authority control}}

[[Kategorija:Eksponencijali]]
[[Kategorija:Unarne operacije]]