Izvorni kôd stranice Cijeli broj

Skup cijelih brojeva je skup koji obuhvata sve [[prirodan broj|prirodne brojeve]], nulu (0), kao sve negativne brojeve (prirodni brojevi sa predznakom -). '''Cijeli brojevi''' ne smiju imati decimalni nastavak tj. pri pisanju tog broja u vidu razlomka, nazivnik mora biti 1. Oznaka skupa cijelih brojeva je '''Z'''. Svi prirodni brojevi se nazivaju '''pozitivni cijeli brojevi''', 0 je '''neutralan broj''' u odnosu na sabiranje, a brojevi manji od 0 se zovu '''negativni cijeli brojevi'''. Negativni brojevi u svojoj notaciji imaju ispred '''predznak''' minus (-) i oni su manji od 0. Pozitivni brojevi imaju predznak plus(+), koji se ne piše i oni su uvijek veći od 0. U skupu cijelih brojeva, ne postoji najmanji ili najveći broj, ali je skup cijelih brojeva linearno uređen skup relacijom <math>\leq</math>

=== Apsolutna vrijednost ===

'''Apsolutna vrijednost''' je vrijednost broja bez njegovog predznaka tj. apsolutna vrijednost mijenja negativnu vrijednost u pozitivnu. Ako je vrijednost već pozitivna, onda se ona ne mijenja. Apsolutna vrijednost uvijek mora biti pozitivan broj. Stavljajući se pod '''modul''' (| |), izračunava se apsloutna vrijednost datog broja. Naprimjer, apsloutna vrijednost broja 5 je 5, a broja -5 je 5.

Kod pozitivnih brojeva važi pravilo: '''Što je apsolutna vrijednost veća to je i broj veći'''.

Kod negativnih brojeva važi pravilo: '''Što je apsolutna vrijednost veća to je broj manji'''.

Znači

1<2<3<4<5...

-1>-2>-3>-4>-5...

Najmanji pozitivan cijeli broj je 1, a najveći ne postoji. Najmanji negativan cijeli broj ne postoji, a najveći je -1.

=== Predznak ispred zagrade ===

Ako ispred zagrade stoji plus (ili ništa) onda se zagrada briše i nastavlja se računanje kao da nije ni bilo zagrade. Ako ispred zagrade stoji minus, zagrada se briše i svi znakovi u zagradi se mijenjaju. (Ako je bio minus onda će biti plus, a ako je bio plus ispred broja, onda će biti minus).

Naprimjer:

4+(8-3+2)-1=4+8-3+2-1=10

4-(8-3+2)-1=4-8+3-2-1=-4

=== Računanje sa negativnim cijelim brojevima ===

Ako se trebaju sabrati dva negativna cijela broja, onda im se saberu apsolutne vrijednosti, i ispred tog zbroja se stavi predznak minus (-).

Ako se trebaju sabrati negativan i pozitivan cijeli broj, onda im se izračunaju apsolutne vrijednosti, zatim se oduzme manja od veće apsolutne vrijednosti i stavi se predznak veće apsolutne vrijednosti.

Kako bi se sebi olakšali računanje sa negativnim brojevima, te se riješili dva (pred)znaka, onda treba slijediti slijedeća tri pravila:

'''Minus(-) i minus(-) daju plus(+)'''

'''Plus(+) i plus(+) daju plus(+)'''

'''Minus(-) i plus(+) daju minus(-)'''

Znači, oduzimanje negativnog je sabiranje pozitivnog, sabiranje negativnog je oduzimanje pozitivnog itd.

Kod množenja i dijeljenja, ako je paran broj faktora (ili djelilaca) istog predznaka, onda je rezultat pozitivan, a ako je broj istih predznaka neparan, onda je rezultat negativan.

=== Primjer ===

4+3=(+4)+(+3)=4+3=7

8-3=(+8)-(+3)=8-3=5

3-8=(+3)-(+8)=3-8=-5

-4+(-3)=-4-3=-7

3-(-8)=3+8=11

2*3=6

-2*(-3)=6

2*(-3)=-6

8:4=2

-8:(-4)=2

-8:4=-2
[[Slika:Latex integers.svg|thumb|Simbol koji se često koristi za označavanje skupa svih cijelih brojeva]]
{{Bočni stubac teorije grupa|Discret}} '''Cijeli broj''' ili '''integer''' je broj nula ({{num|0}}), pozitivan [[prirodni broj]] ({{num|1}}, {{num|2}}, {{num|3}}, itd.) ili '''negativan cijeli broj''' sa predznakom minus ([[−1]], −2, −3, itd.).<ref>{{cite book |title=Science and Technology Encyclopedia |date=septembar 2000 |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-74267-0 |page=280 |url=https://www.google.com/books/edition/Science_and_Technology_Encyclopedia/PZIdcYCCf2kC?hl=en&gbpv=1&dq=integer&pg=PA280 |language=en}}</ref> [[Negativni broj]]evi su [[aditivni inverz]]i odgovarajućih pozitivnih brojeva.<<ref>{{cite web |title=Integers: Introduction to the concept, with activities comparing temperatures and money. {{!}} Unit 1 |url=https://www.oercommons.org/authoring/13198-integers-introduction-to-the-concept-with-activiti/1/view |website=OER Commons |language=en}}</ref> U jeziku [[matematika|matematike]], [[Skup (matematika)|skup]] cijelih brojeva se često označava [[podebljano]] {{matematika|'''Z'''}} ili [[crna tabla podebljano]]<math>\mathbb{Z}</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Integer|url=https://mathworld.wolfram.com/Integer.html|access-date=11. 8. 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name="Cameron1998">{{cite book |author=Peter Jephson Cameron |title=Introduction to Algebra |url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |year=1998 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-850195-4 |page=4 |access-date=15. 2. 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |archive-date=8. 12. 2016 |url-status=live }}</ref>
 
Skup prirodnih brojeva <math>\mathbb{N}</math> je [[podskup]] od <math>\mathbb{Z}</math>, koji je zauzvrat podskup skupa svih [[racionalni broj|racionalnih brojeva]] <math>\mathbb{Q}</math>, sam podskup [[realni broj|realnih brojeva]]<math>\mathbb{R}</math>.{{efn|More precisely, each system is [[Embedding|embedded]] in the next, isomorphically mapped to an subset.<ref>{{cite book |last1=Partee |first1=Barbara H. |last2=Meulen |first2=Alice ter |last3=Wall |first3=Robert E. |title=Mathematical Methods in Linguistics |date=30. 4. 1990 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-90-277-2245-4 |pages=78–82 |url=https://www.google.com/books/edition/Mathematical_Methods_in_Linguistics/qV7TUuaYcUIC?hl=en&gbpv=1&pg=PA80 |language=en |quote=The natural numbers are not themselves a subset of this set-theoretic representation of the integers. Rather, the set of all integers contains a subset consisting of the positive integers and zero which is isomorphic to the set of natural numbers.}}</ref> The commonly-assumed set-theoretic containment may be obtained by constructing the reals, discarding any earlier constructions, and defining the other sets as subsets of the reals.<ref>{{cite book |last1=Wohlgemuth |first1=Andrew |title=Introduction to Proof in Abstract Mathematics |date=10. 6. 2014 |publisher=Courier Corporation |isbn=978-0-486-14168-8 |page=237 |url=https://www.google.com/books/edition/Introduction_to_Proof_in_Abstract_Mathem/PEP_AwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&pg=PA237 |language=en}}</ref> Takva konvencija je "stvar izbora", ali nije.<ref>{{cite book |last1=Polkinghorne |first1=John |title=Meaning in Mathematics |date=19. 5. 2011 |publisher=OUP Oxford |isbn=978-0-19-162189-5 |page=68 |url=https://www.google.com/books/edition/Meaning_in_Mathematics/DCqQDwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&pg=PA68 |language=en}}</ref>}} Kao i [[prirodni broj]]evi, <math>\mathbb{Z}</math> je [[Brojivi skup|prebrojivo beskonačan]]. Cijeli broj može se smatrati realnim brojem koji se može napisati bez [[razlomak|razlomne komponente]]. Naprimjer, 21, 4, 0 i −2048 su cijeli brojevi, dok 9,75, {{sfrac|5|1|2}} i&nbsp;{{math|{{sqrt|2}}}} nisu.<ref>{{cite book |last1=Prep |first1=Kaplan Test |title=GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT |date=4. 6. 2019 |publisher=Simon and Schuster |isbn=978-1-5062-4844-8 |url=https://www.google.com/books/edition/GMAT_Complete_2020/6l_sDwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&pg=PA708 |language=en}}</ref>
 
Cijeli brojevi čine najmanju [[skup (matematika)|skup]] i najmanji [[prsten (matematika)|prsten]] koji sadrži [[prirodni broj|prirodne brojeve]]. U [[algebra|algebarskoj]] teoriji brojeva, cijeli brojevi se ponekad kvalificiraju kao '''racionalni cijeli brojevi''' kako bi se razlikovali od općenitijih [[algebarski cijeli broj|algebarskih cijelih brojeva]]. U stvari, (racionalni) cijeli brojevi su algebarski cijeli brojevi koji su također [[racionalni broj]]evi.
 
== Algebarska svojstva ==
[[slika:Number-line.svg|right|thumb|300px| Cijeli brojevi se mogu smatrati diskretnim, jednako raspoređenim tačkama na beskonačno dugoj [[brojevna linija|brojevnoj liniji]]. U gore navedenom, cijeli brojevi koji nisu [[Znak (matematika)|negativni]] prikazani su plavom bojom, a negativni cijeli brojevi crvenom.]]
Kao i [[prirodni broj]]evi, <math>\mathbb{Z}</math> je [[zatvaranje (matematika)|zatvoren]] pod [[binarna operacija|operacije]] [[sabiranje|sabiranja]] i [[množenje|množenja]] , to jest, zbir i proizvod bilo koja dva cijela broja je cijeli broj. Međutim, uz uključivanje negativnih prirodnih brojeva (i što je najvažnije,&nbsp;{{num|0}}), <math>\mathbb{Z}</math>, za razliku od prirodnih brojeva, također je zatvoren pod [[oduzimanje]]m.<ref>{{Cite web|title=Integer {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/integer|access-date=11. 8. 2020|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>
 
Cijeli brojevi formiraju [[unitalni prsten]] koji je najosnovniji, u sljedećem smislu: za bilo koji jedinstveni prsten postoji jedinstveni [[prstenski homomorfizam]] iz cijelih brojeva u ovaj prsten. Ovo [[univerzalno svojstvo]], naime biti [[početni objekt]] u [[kategorijaprstenova|kategoriji prstenova]], karakteriziran prsten&nbsp;<math>\mathbb{Z}</math>.
 
<math>\mathbb{Z}</math> nije zatvoren pod [[podjela (matematika)|podjela]], budući da količnik dva cijela broja (npr.&nbsp;1 podijeljeno sa&nbsp;2) ne mora biti cijeli broj. Iako su prirodni brojevi zatvoreni pod [[eksponencijal]], cijeli brojevi nisu (pošto rezultat može biti razlomak kada je eksponent negativan).
 
Sljedeća tabela navodi neka od osnovnih svojstava sabiranja i množenja za bilo koje cijele brojeve {{math|''a''}}, {{math|''b''}} i {{math|''c''}} }:
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+Svojstva sabiranja i množenja na cijelim brojevima
!
!scope="col" |[[Sabiranje]]
!scope="col" |[[Množenje]]
|-
!scope="row" |[[Zatvaranje (matematika)|Zatvaranje]]:
|{{math|''a'' + ''b''}}{{pad|1em}} je integer (cijeli broj)
|{{math|''a'' × ''b''}}{{pad|1em}} je integer
|-
!scope="row"|[[Asociativnost]]:
|{{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}}
|{{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}
|-
!scope="row" |[[Komutativnost]]:
|{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}}
|{{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}
|-
!scope="row" | Postojanje [[element identiteta|elementa identiteta]]:
|{{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}
|{{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}
|-
!scope="row" |Postojanje [[inverzni element|inverzni elemenata]]:
|{{math|''a'' + (−''a'') {{=}} 0}}
| Jedini inverzibilni cijeli brojevi (zvani [[Jedinica (teorija prstena)|jedinice]]) su {{math|−1}} and&nbsp;{{math|1}}.
|-
!scope="row" |[[Distributivnost]]:
|colspan=2 align=center |{{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}{{pad|1em}}and{{pad|1em}}{{math|(''a'' + ''b'') × ''c'' {{=}} (''a'' × ''c'') + (''b'' × ''c'')}}
|-
!scope="row" |Bez [[nulti djelitelj|nultih djelitelja]]:
| || | Ako je {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, tada {{math|''a'' {{=}} 0}} ili {{math|''b'' {{=}} 0}} (ili oba)
|}
 
Prvih pet gore navedenih svojstava za [[sabiranje]] kažu da je <math>\mathbb{Z}</math>, pod sabiranjem, [[abelova grupa]]. To je također [[ciklička grupa]], budući da se svaki cijeli broj različit od nule može napisati kao konačan zbir {{nowrap|1 + 1 + ... + 1}} ili {{nowrap|(−1) + ( −1) + ... + (−1)}}. U stvari, <math>\mathbb{Z}</math> pod sabiranjem je ''jedina'' beskonačna ciklička grupa—u smislu da je svaka beskonačna ciklička grupa [[izomorfizam grupe|izomorfna]] prema <math>\mathbb{Z}</math>.
 
Prva četiri svojstva navedena iznad za množenje kažu da je <math>\mathbb{Z}</math> pod [[množenje]]m [[komutativni monoid]]. Međutim, nema svaki cijeli broj multiplikacijski inverz (kao što je slučaj sa brojem 2), što znači da <math>\mathbb{Z}</math> pod množenjem nije grupa.
 
Sva pravila svojstava iz gornje tabele (osim posljednjeg), kada se uzmu zajedno, govore da je <math>\mathbb{Z}</math> zajedno sa sabiranjem i množenjem [[komutativni prsten]] sa [[multiplikativnim identitetom|jedinstvom]]. To je prototip svih objekata takve [[algebarska struktura|algebarske strukture]]. Samo one [[jednakosti (matematika)|jednakosti]] [[algebarski izraz|izraza]] su tačne u&nbsp;<math>\mathbb{Z}</math> za sve vrijednosti varijabli, koje su tačne u bilo kojem unitalnom komutativnom prstenu. Određeni cijeli brojevi koji nisu nula se mapiraju u [[aditivni identitet|nula]] u određenim prstenovima.
 
Nedostatak [[djelitelj nula|djelitelja nula]] u cijelim brojevima (zadnje svojstvo u tabeli) znači da je komutativni prsten&nbsp;<math>\mathbb{Z}</math> [[integralni domen]].
 
Nedostatak multiplikativnih inverza, što je ekvivalentno činjenici da <math>\mathbb{Z}</math> nije zatvoren pod dijeljenjem, znači da <math>\mathbb{Z}</math> "nije" ' a [[polje (matematika)|polje]]. Najmanje polje koje sadrži cijele brojeve kao [[podbring]] je polje [[racionalni broj]]s. Proces konstruisanja racionalnih brojeva iz celih brojeva može se oponašati da bi se formiralo [[polje razlomaka]] bilo koje domene integrala. I nazad, počevši od [[algebarsko polje brojeva]] (proširenje racionalnih brojeva), njegov [[prsten cijelih brojeva]] može se izdvojiti, što uključuje <math>\mathbb{Z}</math> kao svoj [[subring]].
 
Iako obično dijeljenje nije definirano na <math>\mathbb{Z}</math>, dijeljenje "sa ostatkom" je definirano na njima. Zove se [[Euklidska podjela]], i posjeduje sljedeće važno svojstvo: data su dva cijela broja {{math|''a''}} i {{math|''b''}} sa {{math|'' b'' ≠ 0}}, postoje jedinstveni celi brojevi {{math|''q''}} i {{math|''r''}} takvi da je {{math|''a'' {{=} } ''q'' × ''b'' + ''r''}} i {{math|0 ≤ ''r'' < {{!}}''b''{{!}}}} , gdje {{math|{{!}}''b''{{!}}}} označava [[apsolutnu vrijednost]] od {{math|''b''}}. Cijeli broj {{math|''q''}} se naziva ''količnik'', a {{math|''r''}} se naziva ''[[ostatak]]'' dijeljenja { {{math|''a''}} od {{math|''b''}}. [[Euklidski algoritam]] za izračunavanje [[najveći zajednički djelitelj|najvećeg zajedničkog djelitelja]] radi nizom euklidskih podjela.
 
Gore navedeno kaže da je <math>\mathbb{Z}</math> [[Euklidski domen]]. Ovo implicira da je <math>\mathbb{Z}</math> [[glavni idealni domena]], a svaki pozitivni cijeli broj može biti zapisan kao produkt [[prosti broj|prostih brojeva]], u suštini jedinstveninačin.<ref>{{cite book |first=Serge |last=Lang|title=Algebra |edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |year=1993 |isbn=978-0-201-55540-0 |pages=86–87}}</ref> Ovo je [[osnovna teorema aritmetike]].

== Također pogledajte ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Hiperinteger]]
* [[Cjelobrojna složenost]]
* [[Cjelobrojna rešetka]]
* [[Cjelobrojni dio]]
* [[Cjelobrojni niz]]
* [[Funkcija cjelobrojne vrijednosti]]
* [[Matematički simboli]]
* [[Paritet (matematika)]]
* [[Profinite integer]]

== Fusnote ==
{{notelist|1}}
<!-- {{reflist|group=note}} -- Please use "ref group=lower-alpha" or template "{ { efn |" for footnotes. -->
 
== Reference ==
{{reflist}}
 
== Dopunska literatura ==
{{refbegin}}
* {{cite book|last=Bell |first=E.T. |title=Men of Mathematics |url=https://archive.org/details/menofmathematics0000bell |location=New York |publisher=Simon & Schuster |date=1986 |isbn=0-671-46400-0}})
* {{cite book |last=Herstein |first=I.N. |title=Topics in Algebra |publisher=Wiley |edition=2nd |date=1975 |isbn=0-471-01090-1}}
* {{cite book|last1=Mac Lane |first1=Saunders|last2=Birkhoff |first2=Garrett |title=Algebra |publisher=American Mathematical Society |edition=3rd |date=1999 |isbn=0-8218-1646-2}}
* {{cite book |author1=A Society of Gentlemen in Scotland |title=Encyclopaedia Britannica |date=1771 |location=Edinburgh |url=https://www.google.com/books/edition/Encyclopaedia_Britannica/d50qAQAAMAAJ?hl=en |language=en|ref = {{harvid|Encyclopaedia Britannica|1771}}}}
{{refend}}

== Vanjski linkovi ==
{{Commonscat|Integers}}{{Wiktionary}}
* {{Springer|title=Integer|id=p/i051290}}
* [http://www.positiveintegers.org The Positive Integers – divisor tables and numeral representation tools]
* [[oeis:|On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]] cf [[OEIS]]
{{Cijeli brojevi}}{{Brojevi}}{{Authority control}}

[[Kategorija:Elementarna matematika]]
[[Kategorija:Abelova teorija grupa]]
[[Kategorija:Teorija prstenova]]
[[Kategorija:Cijeli brojevi| ]]
[[Kategorija:Elementarna teorija brojeva]]
[[Kategorija:Algebarska teorija brojeva]]
[[Kategorija:Skupovi realnih brojeva]]