Izvorni kôd stranice Brocardove tačke

[[Datoteka:Brocard point.svg|thumb|200px|desno|Brocardove tačke dobijene od dodirnih tačaka tri kruga.]]

U [[Geometrija|geometriji]] '''Brocardove tačke''' su posebne tačke u okviru jednog trougla. 
Ime su dobile po [[Francuska|francuskom]] matematičaru [[Henri Brocard|Henriju Brocardu]] ([[1845]]–[[1922]]).
U [[Trougao|trouglu]]<math>ABC</math> tačka P je prva Brocardova tačka ako važi da su [[Ugao|uglovi]] između duži <math>AP</math>, <math>BP</math> i <math>CP</math> i stranica <math>c</math>,<math>a</math> i <math>b</math> redom, jednaki, tj.

<math>  \measuredangle PAB =\measuredangle  PBC= \measuredangle  PCA = \omega </math>

Tačka P je prva Brocardova tačka u trouglu <math>ABC</math>, a ugao <math>\omega</math> Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brocardova tačka <math>Q</math>, trougla <math>ABC</math> takva da su jednaki uglovi između duži <math>AQ</math>, <math>BQ</math>, <math>CQ</math> i stranica <math>b</math>, <math>c</math> i<math>a</math> redom, tj.

<math>\measuredangle QCB = \measuredangle QBA = \measuredangle QCA = \omega</math>

;Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brocardova tačka.

Dokaz

[[Datoteka:Brocard1.png|thumb]]

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi <math>\measuredangle TAB = \measuredangle TBC =X</math>
tada je

<math>\measuredangle  TBA = \measuredangle  B -X =>\measuredangle  BTA= 180- \measuredangle  B</math>

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž <math>AB</math> vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke <math>A</math>, <math>B</math>, <math>T</math>. To je <math>C_c</math> . Na isti način nacrtajmo kružnicu <math>C_a</math>.
Izabereno tačku U tako da važi:

<math>\measuredangle UBC = \measuredangle UCA</math>

U presjeku ove dvije [[Kružnica|kružnice]] dobijamo prvu Brocardovu tačku, jer za presječnu tačku <math>P</math> važi: 
<math>\measuredangle PAB = \measuredangle = PBC =\measuredangle PCA 
</math>

Drugu Brocardovu tačku nalazimo analogno

Za Brocardov [[ugao]] ω važi jednakost:

<math>
cot \omega = cot\measuredangle A + cot\measuredangle B +cot \measuredangle C</math>

Dokaz

Obilježimo sa P Brocardovu tačku trougla <math>ABC</math>. Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

<math>\frac{CP}{sin(A-\omega}=\frac{AC}{sin(\measuredangle APC}</math> i

<math>\frac{CP}{sin\omega}=\frac{BC}{sin\measuredangle BPC}</math>

Iz ranije dokazanog

<math>\measuredangle APC=180 -\measuredangle A</math> i

<math>\measuredangle BPC=180 -\measuredangle C</math>

Dijeljenjem prve [[jednačine]] drugom dobijamo da je

<math>\frac{sin\omega}{sin(A-\omega)}= \frac{AC}{BC}\frac{sin \measuredangle C}{sin \measuredangle A}= ></math><math>sin(A-\omega)=\frac{a}{b}\frac{sin \measuredangle A}{sin \measuredangle C}</math>

Iz sinusne teoreme znamo da važi

<math>
\frac{a}{b}= \frac{sin \measuredangle A}{sin \measuredangle B}=> sin(A-\omega)= \frac{(sin \measuredangle A)^2\omega}{sin \measuredangle B\measuredangle C}</math>

<math>sin(A-\omega)= sin \measuredangle  A cos\omega - cos \measuredangle  a sin \omega</math>

<math>sin \measuredangle  A cos\omega - cos \measuredangle  a sin \omega= \frac{(sin \measuredangle A)^2\omega}{sin \measuredangle B\measuredangle C}   </math>

Daljnjim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

;Teorema

Važi: <math>cot\omega =\frac{s^2+b^2+c^2}{4P}</math>, gdje je P površina trougla <math>ABC</math>.

== Trilinearne koordinate Brocardovih tačaka ==
<math>P \begin{bmatrix}   c/b :a/c: b/a \end{bmatrix}</math>

<math>Q \begin{bmatrix}   b/c :c/a: a/b \end{bmatrix}</math>

Neka je <math>ABCD</math> tetivni [[četvorougao]]. [[Prava (geometrija)|Prave]] <math>AB</math> i <math>CD</math>
sijeku se u tački E, prave <math>AD</math> i <math>BC</math> u tački F, a prave
<math>AC</math> i <math>BD</math> u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla <math>ABCD</math> ortocentar trougla <math>EFG</math>.

;Dokaz
Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu [[Kružnica|kružnicu]]. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

['''Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice'''

Presjek tetiva <math>ab</math> i <math>cd</math> jedinične kružnice je tačka

<math>t=\frac{ab(c+d) -cd(a+b}{ab-cd}</math> ]

važe jednakosti:

:<math>e=\frac{ab(c+d)-cd(a+b)}{ab-cd}</math>
:<math>f=\frac{ad(b+c)-bc(a+d)}{ad-bc}</math>
:<math>g=\frac{ac(b+d)-bd(a+c)}{ac-bd}</math>.

Da bismo pokazali da je <math>o</math> ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je
<math>of \perp eg</math> i <math>og \perp ef</math>.

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

:<math>\frac{f-o)}{f-\bar{o}}=\frac{e-g)}{e-\bar{g}}</math>
:<math>\frac{f-o)}{f-\bar{o}}= \frac{f)}{\bar{f}}= \frac{\frac{ad(b+c)-bc(a+a)}{ad-bc})}{\frac{(b+c)-(a+d)}{ad-bc}} =  <math>f=\frac{ad(b+c)-bc(a+d)}{(b+c)-(a+d)} </math>

:<math>e-g=  	\frac{(a-d)(ab^2d-ac^2d)-(b-c)(bcd^2-a^2bc)}{(ab-cd)(ac-bd)}=</math>
:<math> 	\frac{ (a-d)(b-c)(b+c)ad -(a+d)bc         }{(ab-cd)(ac-bd)}</math>

Konjugovanjem dobijamo

<math>\bar{e} -\bar{g} =\overline{(\frac{ (a-d)(b-c)(b+c)ad -(a+d)bc        }{(ab-cd)(ac-bd)}  ) }=    \frac{ (a-d)(b-c)(b+c) -(a+d)  }{(ab-cd)(ac-bd)}</math>

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je
dokazana Brocardova teorema.

== Izvor ==
* [http://www.dmi.uns.ac.rs/site/dmi/download/master/matematika/JelenaKnezevic.pdf Značajne tačke i linije u trouglu]

[[Kategorija:Tačke definirane za trougao]]