Izvorni kôd stranice Bretschneiderova formula

[[File:Tetragon measures.svg|mini|Četverougao]]
'''Bretschneider-ova formula''' se koristi u [[Geometrija|geometriji]] za određivanje [[Površina|površine]] [[mnogougao|četvorougla]] , i glasi:
::<math> P = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}{2}}, </math>
pri čemu su, ''a'', ''b'', ''c'' i ''d'' stranice četvorougla, ''s'' je polovina obima četvorougla, a  <math> \alpha\,</math> i <math> \gamma\,</math> naspramni [[ugao|uglovi]] .

Bretschneider's-ova formula daje površinu četvorougla bez obzira da li je on tetivan ili nije.

== Dokaz==
Ako se površina četvorougla označi sa ''P'', onda važi

:<math> \begin{align} P =P_{\triangle BDC} + P_{ \triangle ADB} = \tfrac{1}{2}ab\sin \gamma + \tfrac{1}{2}cd\sin \alpha 
\end{align} </math>

:<math> 4P^2 = (ab)^2\sin^2 \gamma + (cd)^2\sin^2 \alpha + 2abcd\sin \alpha\sin \gamma. \, </math>
Prema [[kosinusna teorema|kosinusnoj teoremi]]
:<math> a^2 + b^2 -2ab\cos \gamma = c^2 + d^2 -2cd\cos \alpha, \, </math>

:Pošto su obe strane jednake [[kvadrat]]u dužine  dijagonale  BD i

:<math>\tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2\cos^2 \gamma +(cd)^2\cos^2 \alpha -2 abcd\cos \alpha\cos \gamma. \,</math>

:<math>4P^2 + \tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2 + (cd)^2 - 2abcd\cos (\alpha+\gamma). \, </math>

:<math>16P^2 = 4(a^2b^2 + c^2d^2) - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 - 8abcd\cos (\alpha+\gamma). \, </math>

:<math>16P^2 = 4(ab + cd)^2 - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 - 8abcd[1+\cos (\alpha+\gamma)]. \, </math>

:<math>16P^2 = [2(ab + cd) - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)][2(ab + cd) + (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)] - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2, \, </math>

:<math>16P^2 = [(a + b)^2 - (c - d)^2][(c + d)^2 - (a - b)^2] - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2. \, </math>

:<math>16P^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b) - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2. </math>

Uzevši u obzir za poluobim četverougla
:<math>s = \frac{a+b+c+d}{2},</math>
imamo
:<math>16P^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2</math>

Bretschneider's-ova formula je uopštenje formule Bramagupte za površinu tetivnog četvorougla, a ova je uopštenje Heronovog obrasca koji se koristi za izračunavanje površine [[Trougao|trougla]].
== Izvori ==
*Weisstein, Eric W:  [http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html Bretschneider's Formula] [https://en.wikipedia.org/wiki/MathWorld MathWorld]
*[https://proofwiki.org/wiki/Bretschneider%27s_Formula Bretschneider's Formula]

[[Kategorija:Teoreme o četverouglovima]]
[[Kategorija:Površina]]